Análisis Matemático IV
Licenciatura en Física y Matemáticas, ESFM del IPN

El curso podría llamarse Elementos de Análisis Funcional.

Presentación introductoria.

Contenido:



Prerrequisitos: análisis real (teoría de la medida y de la integral de Lebesgue), álgebra lineal teórica, elementos de la teoría de espacios métricos y topológicos. Es muy recomendable entender bien los principios de la topología general (los primeros cinco capítulos de cualquier libro de topología general). También pueden servir conocimientos de análisis complejo, de programación y de métodos numéricos, para realizar algunos proyectos especiales.



Algunos temas de espacios métricos (repaso)


present apuntes Espacios métricos: definición y ejemplos (repaso).
present apuntes Bolas en espacios métricos (repaso).
present apuntes Topología inducida por una métrica (repaso).
present apuntes Espacios pseudométricos.
present apuntes La unión de una colección de conjuntos (repaso).
present apuntes Bases de topologías.
present apuntes El producto de dos espacios topológicos.
present apuntes Conjuntos acotados en espacios métricos.
present apuntes Sucesiones de Cauchy y espacios métricos completos.
present apuntes Sucesiones regulares de Cauchy.
present apuntes Espacios métricos completos y sucesiones de conjuntos anidados cerrados no vacíos.
present apuntes Funciones uniformemente continuas.
present apuntes Funciones Lipschitz continuas.
  apuntes Funciones Hölder continuas.
present apuntes Iteraciones de una función (repaso).
present apuntes Funciones contractivas (repaso).
present apuntes El teorema del punto fijo de Banach (repaso).
present apuntes Espacios de Baire.
present apuntes El teorema de Baire para los espacios métricos completos.
present apuntes La distancia-ínfimo entre un punto y un conjunto en un espacio métrico.
present apuntes Vecindades uniformes de conjuntos en espacios métricos.
present apuntes Espacios métricos totalmente acotados.
  apuntes Espacios métricos totalmente acotados, continuación.
  apuntes Espacios topológicos compactos (definición).
  apuntes Criterio de espacios métricos compactos.
problemas Problemas para examen. Tema: espacios métricos (repaso).
tarea Tarea simple. Tema: espacios métricos.
  Demostración del teorema de la función implícita usando el teorema del punto fijo (tarea adicional).
  La distancia hiperbólica en el semiplano superior (tarea adicional).
  La distancia de Hausdorff (tarea adicional).


Espacios normados


present apuntes Espacios normados. Espacios de Banach.
  apuntes La distancia inducida por una norma.
  apuntes Algunos de ejemplos de espacios normados (sin demostraciones).
  apuntes Operaciones lineales con subconjuntos de espacios vectoriales (repaso).
  apuntes Combinaciones convexas en espacios vectoriales (repaso).
  apuntes La envoltura convexa del subconjunto de un espacio vectorial (repaso).
  apuntes Conjuntos convexos (repaso).
present apuntes Bolas en espacios normados y operaciones lineales.
present apuntes Propiedades de bolas en espacios normados.
present   Continuidad de las operaciones lineales en espacios normados.
present   Series en espacios normados.
present apuntes Completez de espacios normados y la convergencia absoluta de series.
present apuntes Definición de un espacio normado a partir de un espacio vectorial con una norma extendida (que puede tomar el valor +∞).
  apuntes El espacio vectorial de todas las sucesiones complejas (repaso de álgebra lineal).
present apuntes El espacio de las sucesiones acotadas.
present apuntes El espacio de las sucesiones acotadas es completo.
  apuntes Los espacios de las sucesiones convergentes y convergentes al cero.
present   El espacio de las sucesiones sumables en la potencia p.
    Los espacios de sucesiones p-sumables son completos.
present apuntes El espacio vectorial de todas las funciones complejas definidas en un conjunto (repaso de álgebra lineal).
present   Algunos espacios normados de funciones.
present   El espacio normado de las funciones acotadas.
present   El espacio normado de las funciones acotadas es completo.
present   El espacio de las funciones acotadas continuas.
present   Los espacios de funciones Hölder y Lipschitz continuas.
present   Espacios de funciones de variación acotada. Espacios de funciones absolutamente continuas.
present apuntes Espacios cocientes de espacios normados y seminormados.
link Repaso: las desigualdades de Hölder y Minkowski.
present apuntes Los espacios de funciones p-integrables.
present apuntes Los espacios normados L∞ de funciones esencialmente acotadas son completos.
present apuntes Los espacios de funciones Lebesgue integrables son completos.
present apuntes Los espacios de funciones p-integrables son completos.
present   Comparación de normas.
present   Normas en Cn y su equivalencia entre si.
present   Espacios normados de dimensión finita.
present apuntes El lema de Riesz y el teorema sobre la bola unitaria en espacios normados de dimensión infinita.
present apuntes Sumas de espacios normados.
present apuntes Bases de Schauder.
present   Espacios normados separables y no separables.
    El teorema de Stone–Weierstrass.
problemas Problemas para examen. Tema: espacios normados, espacios de Banach.
problemas Tarea simple. Tema: espacios normados.
  apuntes Tema adicional. El teorema de Picard sobre la existencia y unicidad de la solución del problema de Cauchy.
    Tarea adicional. Aproximación uniforme de funciones continuas en [0, 1] por polinomios de Bernstein.
    Tarea adicional. Existencia del vector más cercano al origen en los espacios uniformemente convexos.


Operadores lineales acotados en espacios normados


present apuntes Operadores lineales acotados. La norma de un operador lineal.
  apuntes La prueba de Schur para operadores integrales, una versión simplificada.
  apuntes Operadores de desplazamiento en espacios de sucesiones.
present apuntes Gerardo Ramos Vázquez. Operadores de multiplicación en el espacio de sucesiones.
present   Gerardo Ramos Vázquez. Los operadores de multiplicación en espacios de medida sigma-finita.
present   Ejemplos simples de operadores lineales acotados. Ejercicios sobre sus normas.
present   El espacio de los operadores lineales acotados.
  apuntes Continuidad de las transformaciones lineales cuyos dominios son de dimensión finita.
present apuntes Hipersubespacios de espacios vectoriales (repaso de álgebra lineal).
present   Funcionales lineales acotados. El espacio dual de un espacio normado.
present apuntes Funcionales lineales acotados y sus núcleos.
present   Descripción de los espacios duales de lp y c0.
  apuntes Extensión de un funcional lineal real acotado a un subespacio más grande.
  apuntes El teorema de Hahn–Banach, la versión algebraica real.
  apuntes El teorema de Hahn–Banach, la versión algebraica compleja.
present apuntes El teorema de Banach–Schauder sobre transformaciones lineales continuas abiertas.
  apuntes El teorema de la gráfica cerrada.
present apuntes El principio de acotación uniforme (el teorema de Banach–Steinhaus).
present   El espacio bidual del espacio normado.
present   Álgebra de Banach de operadores lineales acotados en un espacio de Banach.
present apuntes La serie de Carl Neumann.
present apuntes El grupo de los operadores lineales acotados invertibles es abierto.
present apuntes El espectro del operador lineal acotado.
present   Teorema de Gelfand: el espectro de cualquier operador lineal acotado es no vacío.
present   El espectro del operador de multiplicación en los espacios de funciones p-integrables.
problemas Problemas para examen. Tema: operadores lineales acotados en espacios de Banach.
problemas Tarea simple. Tema: operadores lineales acotados en espacios normados.


Espacios con producto interno


present apuntes Formas sesquilineales: definición y ejemplos.
present apuntes Propiedades elementales de las formas sesquilineales.
present apuntes La forma cuadrática asociada a la forma sesquilineal.
  apuntes La identidad de polarización con 4 sumandos para las formas sesquilineales.
  apuntes La identidad de polarización general para las formas sesquilineales.
present apuntes Formas sesquilineales hermíticas.
present apuntes Productos internos y sus propiedades elementales.
  apuntes Ejemplos de productos internos.
present   La proyección ortogonal de un vector sobre un subespacio unidimensional.
  apuntes La identidad de Binet–Cauchy y sus aplicaciones. Este tema no se usa mucho en el curso, pero proporciona una demostración elemental de la desigualdad de Cauchy (que es un caso particular de la desigualdad de Schwarz).
present apuntes La desigualdad de Schwarz.
present apuntes La norma inducida por un producto interno. Identidad de paralelogramo. Identidad de polarización.
  apuntes Criterio de ortogonalidad de dos vectores en términos de normas.
present   La identidad de Apolonio en espacios con producto interno.
  apuntes Algunas propiedades elementales de la topología en un espacio con producto interno.
present apuntes La proyección ortogonal de un vector al subespacio generado por una lista ortogonal de vectores.
present   Ortogonalización de Gram–Schmidt.
problemas Problemas para examen. Tema: Espacios con producto interno.


Espacios de Hilbert


  apuntes Espacios de Hilbert. Ejemplos de espacios de Hilbert.
present apuntes El teorema sobre el elemento de la norma mínima en un conjunto convexo cerrado no vacío.
  apuntes La proyección ortogonal sobre un subespacio cerrado de un espacio de Hilbert.
present video Descomposición ortogonal del vector en el espacio de Hilbert.
    El complemento ortogonal del complemento ortogonal.
    Conjuntos completos y conjuntos totales en espacios de Hilbert.
present apuntes Teorema de Fréchet–Riesz sobre la representación de funcionales lineales acotados en espacios de Hilbert.
present apuntes Un recordatorio sobre series de números no negativos.
present apuntes Convergencia de series ortogonales en espacios de Hilbert.
present apuntes Sucesiones ortonormales en espacios de Hilbert.
present   Bases ortonormales (numerables) en espacios de Hilbert.
    Isometrías lineales entre los espacios de Hilbert.
present apuntes Varias formas equivalentes del grupo 𝕋 o ℝ/(2πℤ).
  apuntes La base ortonormal de Fourier.
    Series de Fourier para funciones cuadrado integrables.
problemas Problemas para examen. Tema: Espacios de Hilbert.
    Familias ortonormales en espacios de Hilbert (tema optativo).
    Bases ortonormales no numerables en espacios de Hilbert (tema optativo).
    Espacios de Hilbert con núcleo reproductor (tema optativo).
    Marcos de Parseval (tema optativo).
    Tarea adicional: demostrar que los polinomios de Laguerre forman una base ortonormal en cierto espacio de Hilbert. Tarea similar para los polinomios de Hermite, para los polinomios de Legendre.
    Tarea adicional: encontrar y programar algoritmos para construir el elemento de norma mínima en la envoltura convexa de una lista finita de puntos.


Operadores lineales acotados en espacios de Hilbert


present apuntes Las formas sesquilineales acotadas.
present apuntes Correspondencia entre los operadores lineales acotados y las formas sesquilineales acotadas.
present apuntes El operador adjunto.
  apuntes Operadores normales y sus propiedades básicas.
present apuntes Isometrías lineales entre los espacios de Hilbert.
present apuntes Operadores unitarios.
present apuntes Operadores autoadjuntos y sus formas cuadráticas.
present apuntes Operadores autoadjuntos y sus espectros.
    Proyecciones autoadjuntas. Correspondencia entre las proyecciones autoadjuntas y los subespacios cerrados.
problemas Problemas para examen. Tema: operadores lineales acotados en espacios de Hilbert.




Literatura principal

Literatura adicional


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