Análisis Matemático IV
Licenciatura en Física y Matemáticas, ESFM del IPN

El curso podría llamarse Elementos de Análisis Funcional.

Presentación introductoria.

Contenido:



Algunos temas de espacios métricos (repaso)


Espacios métricos: definición y ejemplos (repaso).
Bolas en espacios métricos (repaso).
Topología inducida por una métrica (repaso).
Espacios pseudométricos.
La unión de una colección de conjuntos (repaso).
Bases de topologías.
El producto de dos espacios topológicos.
Espacios métricos completos.
Funciones uniformemente continuas.
Iteraciones de una función (repaso).
Funciones contractivas (repaso).
Teorema del punto fijo de Banach (repaso).
Teorema de Picard sobre la existencia y unicidad de la solución del problema de Cauchy.
Teorema de Baire.
Conjuntos acotados en espacios métricos.
Espacios métricos totalmente acotados.
Espacios métricos totalmente acotados, continuación.
Espacios métricos compactos.
Problemas para examen. Tema: espacios métricos (repaso).
Demostración del teorema de la función implicita usando el teorema del punto fijo (tarea adicional).


Espacios normados


Espacios normados. Espacios de Banach.
Operaciones aritméticas con subconjuntos de espacios vectoriales (repaso).
Conjuntos convexos en espacios vectoriales (repaso).
Bolas en espacios normados.
Continuidad de las operaciones lineales en espacios normados.
Espacios de las sucesiones acotadas, convergentes y convergentes al cero.
El espacio de las sucesiones sumables en la potencia p.
Algunos espacios normados de funciones.
Espacios cocientes de espacios normados y seminormados.
Los espacios de funciones p-integrables.
Completez de espacios normados.
Los espacios de sucesiones p-sumables son completos.
Los espacios de funciones p-integrables son completos.
Comparación de normas.
Normas en Cn y su equivalencia entre si.
Lema de Riesz y el teorema sobre la bola unitaria en espacios normados de dimensión infinita.
Sumas de espacios normados.
Bases de Schauder.
Espacios normados separables y no separables.
Problemas para examen. Tema: espacios normados, espacios de Banach.
Tarea pequeña. Tema: espacios métricos, espacios normados.

Operadores lineales acotados en espacios normados


Operadores lineales acotados. La norma de un operador lineal.
Prueba de Schur para operadores integrales.
Operadores de desplazamiento en espacios de sucesiones.
Gerardo Ramos Vázquez. Operadores de multiplicación en el espacio de sucesiones.
Gerardo Ramos Vázquez. Los operadores de multiplicación en espacios de medida sigma-finita.
Ejemplos simples de operadores lineales acotados. Ejercicios sobre sus normas.
El espacio de los operadores lineales acotados.
Funcionales lineales acotados. El espacio dual de un espacio normado.
Descripción de los espacios duales de lp y c0.
Teorema de Hahn–Banach, versión algebraica real.
Teorema de Hahn–Banach, versión algebraica compleja.
Teorema de Banach–Schauder sobre transformaciones lineales continuas abiertas.
Teorema de la gráfica cerrada.
El principio de acotación uniforme (el teorema de Banach–Steinhaus).
El espacio bidual del espacio normado.
Álgebra de Banach de operadores lineales acotados en un espacio de Banach.
La serie de Neumann.
El grupo de los operadores lineales acotados invertibles es abierto.
El espectro del operador lineal acotado.
Teorema de Gelfand: el espectro de cualquier operador lineal acotado es no vacío.
El espectro del operador de multiplicación en los espacios de funciones p-integrables.
Problemas para examen. Tema: operadores lineales acotados en espacios de Banach.

Espacios de Hilbert


Formas sesquilineales y sus propiedades elementales.
Productos internos y sus propiedades elementales.
La proyección ortogonal de un vector sobre un subespacio unidimensional.
Identidad de Binet–Cauchy y sus aplicaciones. Este tema no se usa mucho en el curso, pero proporciona una demostración elemental de la desigualdad de Cauchy (que es un caso particular de la desigualdad de Schwarz).
Desigualdad de Schwarz.
La norma inducida por un producto interno. Identidad de paralelogramo. Identidad de polarización.
Espacios de Hilbert. Ejemplos de espacios de Hilbert.
La identidad de Apolonio en espacios con producto interno.
Teorema sobre el elemento de la norma mínima en un conjunto convexo cerrado no vacío.
Proyección ortogonal sobre un subespacio cerrado de un espacio de Hilbert.
Descomposición ortogonal de un vector en espacio de Hilbert.
Teorema de Fréchet–Riesz sobre la representación de funcionales lineales acotados en espacios de Hilbert.
Ortogonalización de Gram–Schmidt.
Recordatorio sobre series de números positivos.
Convergencia de series ortogonales en espacios de Hilbert.
Sucesiones ortonormales en espacios de Hilbert.
Bases ortonormales (numerables) en espacios de Hilbert.
La base ortonormal de Fourier.
Problemas para examen. Tema: Espacios de Hilbert.
Familias ortonormales en espacios de Hilbert (tema optativo).
Bases ortonormales no numerables en espacios de Hilbert (tema optativo).
Espacios de Hilbert con núcleo reproductor (tema optativo).
Tarea adicional: demostrar que los polinomios de Laguerre forman una base ortonormal en cierto espacio de Hilbert. Tarea similar para los polinomios de Hermite, para los polinomios de Legendre.
Tarea adicional: demostración del teorema de Moore–Aronszajn.


Operadores en espacios de Hilbert


Correspondencia entre los operadores lineales acotados y las formas sesquilineales acotadas.
El operador adjunto.
Operadores normales.
Operadores unitarios.
Operadores autoadjuntos. La norma del operador autoadjunto.
Proyecciones autoadjuntas. Correspondencia entre proyecciones autoadjuntas y subespacios cerrados.
Álgebras C*: definición y ejemplos.
Propiedades rígidas de álgebras C*.
Problemas para examen. Tema: operadores lineales acotados en espacios de Hilbert.




Literatura principal


.
Visitor counter
  craigslist view counter
Hit Web Counter