Análisis Matemático II
Licenciatura en Física y Matemáticas, ESFM del IPN

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El programa (temario) de la asignatura Análisis Matemático II se divide en las siguientes partes:

  1. Temas preliminares.
  2. Medida abstracta y funciones medibles.
  3. Extensión de medidas.
  4. Modos de convergencia de sucesiones de funciones.
  5. Integración abstracta.
  6. Comparación de la integral de Lebesgue con la integral de Riemann.
  7. Conjuntos convexos y funciones convexas.
  8. Espacios Lp.
  9. Integración sobre productos de espacios de medida.

Estructura del curso (presentación).

Por su temario, esta materia puede llamarse Análisis Real.


Objectivo. Estudiar o repasar la construcción de la integral de Lebesgue y demostrar sus propiedades principales.

Aplicaciones. Análisis Matemático II sirve como una base para estudiar análisis armónico y análisis funcional (una parte de esto se ve en Análisis Matemático III y IV), también es útil para el análisis de ecuaciones diferenciales, para la teoría de probabilidad y procesos estocásticos.

Prerrequisitos. Antes de inscribirse a esta asignatura, es necesario repasar todos los temas marcados con la palabra “repaso”, incluso cotas superiores e inferiores, supremos e ínfimos, conjuntos y familias de conjuntos, imágenes y preimágenes de conjuntos bajo funciones, topología inducida por una métrica, conceptos básicos de topología general.

apuntes tex Un ejemplo simple de archivo TeX. Demostración de la fórmula para A \ (B \ C).
apuntes tex Un ejemplo más avanzado. Otras dos demostraciones de la fórmula para A \ (B \ C).

Temas preliminares

  Vamos a repasar rápidamente algunos conceptos preliminares.
ejercicios Todos los ejercicios simples juntos.
present ejercicios Negación, conjunción y disyunción.
ejercicios Cuantificadores sobre conjuntos finitos.
ejercicios Operaciones con conjuntos.
present apuntes Operaciones con conjuntos (repaso).
present apuntes Algunos elementos de lógica con cuantificadores (repaso).
apuntes Operaciones con familias de conjuntos (repaso).
ejercicios Imágenes y preimágenes con respecto a funciones que actúan sobre conjuntos finitos.
ejercicios Propiedades de imágenes y preimágenes.
ejercicios Propiedades de imágenes y preimágenes para familias de conjuntos.
apuntes Redondeo de números reales hacia abajo y hacia arriba. El piso y el techo. La parte entera. Repaso.
apuntes Operaciones con familias monótonas de conjuntos.
apuntes Función indicadora (repaso).
apuntes Imágenes y preimágenes (repaso).
apuntes Espacios métricos, definición y ejemplos (repaso).
apuntes Bolas en espacios métricos (repaso).
apuntes Topología inducida por una distancia (repaso).
apuntes Nociones básicas de topología general (repaso).
present apuntes Eje real extendido.
  Desigualdades estrictas y no estrictas.
apuntes Cotas superiores e inferiores.
apuntes El supremo y el ínfimo de un conjunto.
present apuntes El supremo, el ínfimo y desigualdades.
present   El supremo y el ínfimo de la unión de una familia de conjuntos.
apuntes El supremo, el ínfimo y operaciones aritméticas.
apuntes El supremo y el ínfimo de una función en un conjunto.
apuntes Topología del eje real. Estructura de conjuntos abiertos de números reales.
present apuntes Límites de funciones monótonas (repaso).
apuntes Límites de sucesiones monótonas (repaso).
apuntes Definición del límite superior y del límite inferior de una sucesión.
apuntes Criterios de desigualdades elementales para el límite superior y el límite inferior de una sucesión.
present apuntes Propiedades aritméticas de límites superiores e inferiores de sucesiones de números reales.
 
tarea Tarea de temas preliminares (por equipos).
solución Ejemplo de solución de la tarea.
problemas Problemas para examen. Temas preliminares.
problemas Tarea adicional. Distancia en el eje real extendido.


Medida abstracta y funciones medibles

  apuntes Sigma-álgebras.
present apuntes La sigma-álgebra generada por un conjunto de conjuntos.
present apuntes Medidas.
present apuntes Estructura de sucesiones crecientes de conjuntos.
  apuntes Estructura de sucesiones decrecientes de conjuntos.
present apuntes La medida de la unión de una sucesión creciente de conjuntos.
present apuntes La propiedad subaditiva de las medidas.
  apuntes Funciones medibles.
  apuntes La distancia de un punto a un conjunto (repaso).
  apuntes Todo conjunto abierto en el plano se puede representar como una unión numerable de rectángulos abiertos.
  apuntes La parte positiva y la parte negativa de números reales.
  apuntes Funciones reales medibles.
  apuntes Funciones complejas medibles.
present   Particiones de conjuntos.
present apuntes Funciones simples.
present   Operaciones aritméticas con funciones simples.
present apuntes Aproximación de funciones positivas medibles por funciones simples positivas medibles.
 
problemas Problemas para examen. Tema: medida abstracta.
problemas Tarea adicional. Sigma-álgebras finitas o numerables.
problemas Tarea adicional. Programación: álgebras de subconjuntos sobre un conjunto finito.
problemas Tarea adicional. El rango esencial de una función medible.
problemas Tarea adicional. La función de distribución asociada a una medida de probabilidad sobre el eje real.


Extensión de medidas

  apuntes Semianillos de conjuntos.
present apuntes Anillos de conjuntos.
  apuntes Premedidas. Extensión de una premedida de un semianillo al anillo generado.
  apuntes La longitud de intervalos semiabiertos es una premedida.
  apuntes Clases monótonas de conjuntos (tema optativo).
  apuntes Medidas exteriores.
  apuntes Extensión de Carathéodory.
  apuntes Completación de una medida (tema optativo).
  apuntes Construcción de la medida de Lebesgue en ℝ por medio del teorema de Carathéodory.
  apuntes Existencia de conjuntos de números reales que no son Lebesgue medibles.
  apuntes La medida de Lebesgue en ℝn (tema optativo).
    Teorema de Luzin (tema optativo).
 
problemas Problemas para examen. Tema: Extensión de medidas.
problemas Tarea adicional. Pseudométrica entre conjuntos generada por una medida exterior.


Modos de convergencia de sucesiones de funciones

  apuntes Modos de convergencia: uniforme, puntual, casi en todas partes, en medida, casi uniforme.
present   Convergencia uniforme.
  apuntes Conjuntos de no cercanía y sus propiedades.
present   Convergencia casi uniforme.
  apuntes Descripción de varios modos de convergencia en términos de ciertos conjuntos auxiliares.
present apuntes Ejemplos de análisis de varios modos de convergencia.
present   Convergencia en medida.
  apuntes Relaciones entre varios modos de convergencia.
present   Convergencia de Cauchy en medida.
 
tarea Tarea (por equipos). Tema: varios modos de convergencia de sucesiones de funciones.
problemas Problemas para examen. Tema: modos de convergencia de sucesiones de funciones.


Integración abstracta

present Plan de la unidad (Integral de Lebesgue).
apuntes present Integración de funciones simples medibles positivas.
apuntes   Propiedades de la integral de funciones simples medibles positivas.
apuntes present Integración de funciones positivas medibles.
apuntes present Desigualdades de Markov y Chebyshov.
  present Algunas demostraciones falsas del teorema de la convergencia monótona.
apuntes present Teorema de la convergencia monótona.
apuntes present Lema de Fatou.
apuntes present La integral de la suma finita o numerable de funciones medibles positivas.
apuntes   Medida definida como la integral de Lebesgue de una función medible positiva con conjunto de integración variable.
apuntes present Integración de funciones reales.
apuntes present Integración de funciones complejas.
apuntes   Teorema de Lebesgue de la convergencia dominada.
apuntes present Funciones iguales casi en todas partes.
apuntes present Integrales de series de funciones complejas.
apuntes present Continuidad de la integral de Lebesgue respecto al conjunto de integración.
 
tarea Tarea. Tema: Integral de Lebesgue. Versión actual.
problemas Problemas para examen. Tema: integración abstracta.
problemas Tarea adicional. Familias uniformemente integrables y teorema de convergencia de Vitali.
    Tarea adicional. Construcción de la integral de Bochner.

Comparación de la integral de Lebesgue con la integral de Riemann

apuntes   Particiones de Riemann de un intervalo.
    Sumas de Darboux.
apuntes   Las integrales de Riemann y Lebesgue coinciden para las funciones continuas en intervalos cerrados.
  Criterio de Lebesgue de funciones Riemann integrables.
  Coincidencia de la integral de Riemann con la integral de Lebesgue (para las funciones Riemann integrables).
  La integral de Lebesgue en la recta real, traslaciones y dilataciones.
  Integrales impropias de Lebesgue. Criterio de Cauchy para la convergencia de integrales impropias.
  Integrales impropias de Lebesgue de funciones positivas.


Conjuntos convexos y funciones convexas

present apuntes Combinaciones convexas en espacios vectoriales (repaso).
  apuntes La envoltura convexa del subconjunto de un espacio vectorial (repaso).
  apuntes Conjuntos convexos (repaso).
  apuntes Funciones monótonas (repaso).
  apuntes Funciones convexas (repaso).
present apuntes Funciones convexas de una variable real. Criterio de convexidad en términos de las diferencias divididas.
present apuntes Funciones convexas de una variable real y derivadas.
  apuntes Desigualdad de Jensen.
present apuntes Desigualdad de Young (convexidad de la función exponencial).
problemas Problemas para examen. Tema: Conjuntos convexos y funciones convexas.


Espacios Lp

present apuntes Desigualdad de Hölder.
present apuntes Desigualdad de Minkowski.
apuntes Desigualdades de Young, Hölder y Minkowski.
apuntes Supremo esencial de funciones positivas.
present   Espacios Lp.
apuntes Completez de espacios métricos y normados (repaso).
present apuntes Los espacios normados Lp son completos.
apuntes Densidad de funciones simples en Lp.
  Aproximación por funciones continuas.
 
problemas Problemas para examen. Tema: Espacios Lp.


Integración sobre productos de espacios de medida

apuntes Clases monótonas de conjuntos.
apuntes Medibilidad sobre productos.
apuntes Productos de medidas.
apuntes Teorema de Tonelli.
apuntes Teorema de Fubini.
 
problemas Problemas para examen. Tema: Integración sobre productos de espacios de medida.


Literatura

Muchas definiciones y demostraciones siguen el libro de Rudin. El libro de Royden y Fitzpatrick también es muy cercano.

  1. Walter Rudin, Real and complex analysis. McGrow–Hill, 1987.
  2. Halsey L. Royden, Patrick Fitzpatrick, Real analysis. 4th edition. Prentice Hall, 2010.

El estilo del libro de Rudin es demasiado breve, por eso se recomienda completarlo con algún otro libro.

  1. Gerald B. Folland, Real Analysis. Modern Techniques and Their Applications. Second Edition. Wiley, 1999.
  2. Paul R. Halmos, Measure theory. New York, 1950.
  3. Vladimir I. Bogachev, Measure theory. Springer, 2007. ISBN-13: 978-3-540-34513-8.
  4. José María Rocha Martínez, Un primer curso de integración de Lebesgue en Rn, IPN.
  5. Bernard R. Gelbaum, John M. H. Olmsted, Counterexamples in analysis. Dover Publications, 1992.


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