Álgebra II (Introducción al Álgebra Lineal),
Licenciatura en física y matemáticas, ESFM del IPN

El programa (temario) de la asignatura Álgebra II es enorme. Lo dividimos en 4 partes grandes:

  1. Operaciones con matrices. Sistemas de ecuaciones lineales.
  2. Espacios vectoriales. Bases y dimensión.
  3. Transformaciones lineales. Funcionales lineales.
  4. Permutaciones. Determinantes.

Por favor corrijan mi español y mis errores matemáticos.

Agradezco por varios consejos e ideas a mis colegas de la ESFM, especialmente a los profesores Myriam Rosalía Maldonado Ramírez, Eliseo Sarmiento Rosales, Flor de María Correa Romero y Sergio González Govea. Agradezco al estudiante Román Higuera García por muchas correcciones y observaciones.

Propósito de Álgebra Lineal: analizar propiedades de operadores lineales en espacios vectoriales de dimensión finita.

Organización del curso y sistema de calificaciones.
Primer conocimiento con transformaciones lineales.


Primera parte. Operaciones con matrices. Sistemas de ecuaciones lineales


Operaciones con matrices

«…Este grandísimo libro [de la naturaleza] … no se puede entender,
si primero no se aprende a entender la lengua, y conocer los caracteres en el cual son escritos.
Eso está escrito en lengua matemática…» (Galileo Galilei)

Empecemos a estudiar las letras de Álgebra Lineal.

Propiedades de las operaciones algebraicas con números reales (repaso).
Operaciones lineales en R3 y sus propiedades.
Vectores con componentes definidas mediante fórmulas.
Operaciones lineales en Rn.
Operaciones lineales en Fn, donde F es un campo.
Primer conocimiento de las combinaciones lineales y dependencias lineales.
Sumas y sus propiedades básicas.
Delta de Kronecker y sumas con la delta de Kronecker.
Matrices con entradas definidas mediante fórmulas.
Motivación de las operaciones con matrices.
Definición de las operaciones con matrices.
Operaciones con matrices en GNU Octave. Tema optativo.
Problemas experimentales para divertirse con la multiplicación de matrices.
Propiedades de las operaciones lineales con matrices.
Propiedades de la multiplicación de matrices.
La transformación lineal asociada a una matriz.
Propiedades de la multiplicación de matrices, usando el concepto de transformaciones lineales.
Matriz transpuesta.
Matrices simétricas y antisimétricas.
Multiplicación de matrices por vectores.
Estructura del producto de matrices.
Renglones y columnas del producto de matrices como combinaciones lineales de los renglones o columnas de los factores.
La delta de Kronecker y la matriz identidad.
Potencias no negativas de una matriz cuadrada.
Polinomio de una matriz cuadrada.
Definición de la matriz inversa. Matrices invertibles.
Matrices triangulares.
Matrices diagonales.
 
Tarea individual 1. Tema: Operaciones con matrices. Versión antigua.
A cada estudiante le corresponde su propia variante que se puede encontrar por las letras iniciales de los apellidos y nombres. Por ejemplo, Wilfrido Hugo Yáñez Hernández tendría que resolver la variante YHWH.
Problemas teóricos para examen. Tema: Operaciones con matrices.
Tareas adicionales. Tema: Operaciones con matrices.


Sistemas de ecuaciones lineales

Sistemas de ecuaciones lineales. Introducción.
Operaciones elementales.
Eliminación de Gauss–Jordan en el caso de sistemas compatibles determinados.
Matrices escalonadas y escalonadas reducidas.
Análisis y solución de sistemas de ecuaciones lineales en el caso general.
Matrices pseudoescalonadas y pseudoescalonadas reducidas.
Sistemas de ecuaciones lineales homogéneas.
Sistemas de ecuaciones lineales con parámetros.

Matrices elementales forman un puente entre los algoritmos y la teoría de Álgebra Lineal.
En particular, estas matrices permiten pasar del algoritmo de eliminación de Gauss al criterio de invertibilidad de una matriz.

Matrices elementales.
Descomposición de una matriz cuadrada en un producto de matrices elementales.
Criterio de invertibilidad de una matriz cuadrada en términos de matrices elementales.
Ecuaciones matriciales AX=B y XA=B. Cálculo de la matriz inversa.
Matrices inversas a las matrices triangulares.
Análisis de redes eléctricas simples. Tema optativo.
Comprobar la solución de sistemas de ecuaciones lineales con ayuda de GNU Octave. Tema optativo.
 
Tarea individual 2. Tema: Sistemas de ecuaciones lineales, ecuaciones matriciales. Versión antigua.
Problemas teóricos para examen. Tema: Sistemas de ecuaciones lineales. Ecuaciones matriciales.
Tareas adicionales. Tema: Sistemas de ecuaciones lineales. Ecuaciones matriciales.


Primer examen parcial. Matrices. Sistemas de ecuaciones lineales.


Segunda parte. Espacios vectoriales. Bases y dimensión


Espacios vectoriales


«Las teorías vienen y se van, y los ejemplos se quedan.» (Izrail Gélfand)
Antes de dar la definición axiomática de espacio vectorial es importante conocer algunos ejemplos importantes.
Espacio Rn (repaso breve).
Espacio Fn, donde F es un campo (repaso breve).
Vectores en el plano euclidiano con el punto inicial fijo. Espacio V2(O).
Vectores libres en el plano euclidiano. Espacio V2. (Este tema es opcional y no se incluye en el examen.)

Ahora estamos preparados para estudiar espacios vectoriales abstractos.
 
Definición de espacio vectorial. Corolarios simples de los axiomas.
Ejemplos de espacios vectoriales. Contraejemplos.
Subespacios de espacios vectoriales.
Subespacio generado por un conjunto finito de vectores (envoltura lineal de un conjunto finito de vectores).
Descripción del subespacio generado por algunos vectores de Rn con un sistema de ecuaciones lineales homogéneas.
Suma de subconjuntos de un espacio vectorial.
Intersección y suma de subespacios.
Suma directa de subespacios.
Listas de vectores y conjuntos de vectores (explicación para las personas que ya saben Álgebra Lineal).
Dependencia lineal (listas de vectores linealmente dependientes e independientes).
Criterio de dependencia lineal.
Propiedades de la dependencia lineal (propiedades de listas de vectores linealmente dependientes).
Teorema fundamental de la dependencia lineal.
 
Tarea individual 3. Tema: Espacios vectoriales. Versión antigua.
Problemas teóricos para examen. Tema: Espacios vectoriales. Subespacios. Dependencia lineal.


Bases y dimensión

Bases de un espacio vectorial.
Coordenadas de un vector respecto a una base.
Correspondencia entre vectores y columans de sus coordenadas respecto a una base fija.
Construcción de una base del conjunto solución de un sistema de ecuaciones lineales homogéneas.
Construcción de bases de subespacios (ejemplos).
Sublista básica y rango de una lista de vectores.
Descripción de bases por sus propiedades extremales.
Dimensión. Espacios vectoriales de dimensión finita.
Cambio de base.
Cambio de base del plano (ejemplo geométrico).
Isomorfismos de espacios vectoriales. Espacios vectoriales isomorfos.
Dimensión del subespacio.
Rango de una matriz.
Cálculo del rango de una matriz.
Construcción de una sublista básica de una lista de vectores (ejemplos).
Rango del producto. Criterio de invertibilidad de una matriz cuadrada en términos de su rango.
Dimensión de la suma y de la intersección de subespacios (fórmula de Grassmann).
Construcción de bases en la suma y la intersección de subespacios (ejemplo).
Teorema de Kronecker–Capelli (criterio de la consistencia de un sistema de ecuaciones lineales).
 
Tarea individual 4. Tema: Bases y dimensión. Versión antigua.
Problemas teóricos para examen. Tema: Bases y dimensión.


Segundo examen parcial. Espacios vectoriales.


Tercera parte. Transformaciones lineales. Funcionales lineales


Transformaciones lineales

Transformaciones lineales (= operadores lineales).
Operaciones con transformaciones lineales.
Matriz asociada a una transformación lineal.
Cálculo de la matriz asociada a una transformación lineal (ejemplos).
Matriz asociada al operador de rotación en el plano.
Cambio de la matriz asociada a una transformación lineal al cambiar las bases del dominio y del contradominio.
Correspondencia entre transformaciones lineales y matrices.
Núcleo e imagen de una transformación lineal.
Construcción de bases del núcleo y de la imagen de una transformación lineal.
Nulidad y rango (dimensiones del núcleo y de la imagen) de una transformación lineal.
Ejemplo de una proyección en R3.
Transformaciones lineales invertibles (no singulares).
Isomorfismos. Espacios vectoriales isomorfos.
 
Tarea individual 5. Tema: Transformaciones lineales. Versión antigua.
Problemas teóricos para examen. Tema: Transformaciones lineales.


Funcionales lineales

Funcionales lineales.
Forma general de funcionales lineales en los espacios de matrices y polinomios.
Espacio dual a un espacio vectorial.
Base dual.
Construcción de base duales a bases de Rn.
Coordenadas de funcionales lineales respecto a la base dual (ejemplos).
Cambio de las coordenadas de un funcional lineal al cambiar la base del espacio.
Espacio bidual a un espacio vectorial.
Anuladores.
Ejemplos de construcción de bases en anuladores.
 
Tarea individual 6. Tema: Funcionales lineales. Versión antigua.
Problemas teóricos para examen. Tema: Funcionales lineales.


Tercer examen parcial. Transformaciones lineales. Funcionales lineales.


Cuarta parte. Permutaciones. Determinantes


Permutaciones

Para estudiar determinantes necesitamos algunos conocimientos de permutaciones.
El estudio de las permutaciones ayudará también en la teoría de grupos (Álgebra Moderna I).
Permutaciones.
Producto de permutaciones (composición de permutaciones).
Grupo simétrico.
Descomposición de permutaciones en ciclos disjuntos.
Cambio de la estructura cíclica de una permutación al multiplicarla por una transposición.
Descomposición de una permutación en transposiciones.
Multiplicación de una permutación por una transposición simple.
Descomposición de una permutación en transposiciones simples.
Signo de una permutación.
Subgrupo alternante. Construcción de biyecciones entre permutaciones pares e impares.
Funciones antisimétricas.
 
Tarea individual 7. Tema: Permutaciones. Versión antigua.
Problemas teóricos para examen. Tema: Permutaciones.
Problemas teóricos adicionales. Tema: Permutaciones.


Determinantes

El determinante de una matriz cuadrada de orden n es un escalar que se puede calcular por ciertas reglas.
Del punto de visto geométrico, el determinante es el volumen orientado de un paralelepípedo n-dimensional.
Algebráicamente, es una forma n-lineal alternante de los renglones (o de las columnas) de la matriz.
Nosotros vamos a definir el determinante de manera explícita, como cierta suma de n! sumandos, donde cada sumando corresponde a una permutación.
Determinantes tienen muchas aplicaciones, por ejemplo: el criterio de la invertibilidad de una matriz,
el jacobiano que se usa para hacer un cambio de variables en una integral multidimensional.
Definición de determinante (presentación).
Determinante como una función n-lineal alternante (presentación).
Determinante y operaciones elementales.
Determinante del producto.
Determinante de una matriz triangular por bloques.
Menores y cofactores. Expansión del determinante por cofactores.
Cálculo de determinantes numéricos.
Cálculo de determinantes simbólicos.
Matriz adjunta clásica (matriz de cofactores transpuesta) de una matriz cuadrada.
Criterio de invertibilidad de una matriz cuadrada en términos de su determinante.
Regla de Cramer.
Determinante de Vandermonde y su aplicación a la interpolación polinomial.
Interpretación de los determinantes como área y volumen (tema adicional).
Rango y menores de una matriz (tema adicional).
Tarea individual 8. Tema: Determinantes. Versión antigua. Versión antigua.
Compuse los ejercicios junto con Sadi Manuel Ramírez González.
Problemas teóricos para examen. Tema: Determinantes.
Compuse los problemas con ayuda de Sadi Manuel Ramírez González.
Problemas teóricos adicionales. Tema: Determinantes.




Examen extraordinario y examen a título de suficiencia

Guía del examen extraordinario de Álgebra II.
Guía del examen a título de suficiencia de Álgebra II.


Literatura principal

  1. S. Lipschutz and M. Lipson, Schaum's outline of theory and problems of linear algebra. Third edition. McGraw-Hill, 2001.
    Preview (Google Books)
  2. S. H. Friedberg, A. J. Insel, and L. E. Spence, Álgebra lineal. Cuarta edición.

Literatura adicional

  1. Sheldon Axler, Linear Algebra Done Right. Second Edition. Springer, 2004.
  2. Sergei Treil, Linear Algebra Done Wrong.
    http://www.math.brown.edu/~treil/papers/LADW/LADW.html
  3. J. T. Moore, Elements of Linear Algebra and Matrix Theory. McGraw-Hill (New York), 1968.
  4. K. Hoffman and R. Kunze, Linear algebra. Second edition.
    Prentice-Hall, Englewood Cliffs, New Jersey, 1971.
  5. I. M. Gel'fand, Lectures on Linear Algebra. Interscience (New York), 1961.
  6. L. J. Paige, J. D. Swift, T. A. Slobko, Elementos de álgebra lineal. Segunda edición. 1982. 399 páginas.
    Preview (Google Books)
  7. H. Anton, Álgebra lineal. Cuarta edición. Limusa, 2009. 728 p. il.



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