Análisis Funcional

Programa del curso para Maestría en Ciencias Fisicomatemáticas.

Prerrequisitos: análisis real (teoría de la medida y de la integral de Lebesgue), álgebra lineal teórica, elementos de la teoría de espacios métricos y topológicos. Es muy recomendable entender bien los principios de la topología general. También pueden servir conocimientos de análisis complejo, de programación y de métodos numéricos, para realizar algunos proyectos especiales.

Contenido:



Espacios métricos y topológicos (repaso)


  Espacios topológicos. El interior y la cerradura de un conjunto.
  Funciones continuas.
present apuntes La unión de una colección de conjuntos (repaso).
present apuntes Bases de topologías.
present apuntes El producto de dos espacios topológicos.
present apuntes Espacios métricos: definición y ejemplos.
present apuntes Bolas en espacios métricos.
present apuntes Topología inducida por una métrica.
present apuntes Conjuntos acotados en espacios métricos.
present apuntes Espacios pseudométricos.
present apuntes Sucesiones de Cauchy y espacios métricos completos.
present apuntes Sucesiones regulares de Cauchy.
  apuntes Espacios métricos completos y sucesiones de conjuntos anidados cerrados no vacíos.
  apuntes Funciones uniformemente continuas.
  apuntes Funciones Lipschitz continuas y funciones Hölder continuas.
  apuntes Completación de espacios métricos.
present apuntes Iteraciones de una función (repaso).
present apuntes Funciones contractivas (repaso).
present apuntes Teorema del punto fijo de Banach (repaso).
  apuntes Teorema de Picard sobre la existencia y unicidad de la solución del problema de Cauchy.
present apuntes Espacios de Baire.
present apuntes El teorema de Baire para los espacios métricos completos.
  apuntes La distancia-ínfimo entre un punto y un conjunto en un espacio métrico.
present apuntes Vecindades uniformes de conjuntos en espacios métricos.
apuntes Problemas. Tema: espacios métricos.
tarea Cálculo de las distancias entre los vértices de un grafo (tarea adicional).
  La distancia hiperbólica en el semiplano superior (tarea adicional).
  Demostración del teorema de la función implícita usando el teorema del punto fijo (tarea adicional).
  La distancia de Hausdorff (tarea adicional).


Espacios métricos totalmente acotados y compactos


present apuntes Espacios métricos totalmente acotados.
  apuntes Subconjuntos totalmente acotados en espacios métricos.
present apuntes Espacios métricos totalmente acotados, continuación.
present   La imagen de un conjunto totalmente acotado respecto a una función Lipschitz continua.
present   Operaciones lineales con conjuntos totalmente acotados en espacios normados.
  apuntes Espacios topológicos compactos (definición).
  apuntes Espacios métricos compactos.
problemas Problemas. Tema: espacios métricos totalmente acotados y compactos.


Convexidad y desigualdades integrales (no repasamos en este curso)


  apuntes Combinaciones convexas en espacios vectoriales (repaso).
  apuntes La envoltura convexa del subconjunto de un espacio vectorial (repaso).
  apuntes Conjuntos convexos (repaso).
  apuntes Funciones monótonas (repaso).
  apuntes Funciones convexas (repaso).
present apuntes Funciones convexas de una variable real. Criterio de convexidad en términos de las diferencias divididas.
present apuntes Funciones convexas en intervalos y derivadas laterales.
present apuntes Funciones convexas de una variable real y derivadas.
  apuntes La desigualdad de Jensen.
  apuntes La desigualdad de Young (convexidad de la función exponencial).
  apuntes La desigualdad de Hölder.
  apuntes La desigualdad de Minkowski.
  apuntes El supremo esencial de la función positiva.
problemas Lista de problemas para examen. Tema: convexidad y desigualdades integrales.


Espacios normados


present apuntes Espacios normados. Espacios de Banach.
    Operaciones aritméticas con subconjuntos de espacios vectoriales (repaso).
    Conjuntos convexos en espacios vectoriales (repaso).
present apuntes Bolas en espacios normados.
present   Continuidad de las operaciones lineales en espacios normados.
present apuntes Completez de espacios normados y la convergencia absoluta de series.
  apuntes Espacios de las sucesiones acotadas, convergentes y convergentes al cero.
  apuntes El espacio de las sucesiones convergentes. El espacio de las sucesiones convergentes a cero.
present   El espacio de las sucesiones sumables en la potencia p.
    Los espacios de sucesiones p-sumables son completos.
present   Algunos espacios normados de funciones.
present apuntes Espacios cocientes de espacios normados y seminormados.
    Los espacios de funciones esencialmente acotadas.
    Los espacios de funciones esencialmente acotadas son completos.
present apuntes Los espacios de funciones p-integrables.
present apuntes Los espacios de funciones p-integrables son completos.
present   Comparación de normas.
present   Normas en Cn y su equivalencia entre si.
present apuntes Lema de Riesz y el teorema sobre la bola unitaria en espacios normados de dimensión infinita.
present apuntes Sumas de espacios normados.
present apuntes Bases de Schauder.
present   Espacios normados separables y no separables.
tarea Tarea de ejercicios pequeños. Tema: espacios normados.
problemas Problemas para examen. Tema: espacios normados, espacios de Banach.


Operadores lineales acotados en espacios normados


present apuntes Operadores lineales acotados. La norma de un operador lineal.
  apuntes La prueba de Schur para operadores integrales, una versión simplificada.
  apuntes Operadores de desplazamiento en espacios de sucesiones.
  apuntes Operadores lineales acotados idempotentes.
presentación   Gerardo Ramos Vázquez. Operadores de multiplicación en el espacio de sucesiones.
presentación   Gerardo Ramos Vázquez. Los operadores de multiplicación en espacios de medida sigma-finita.
present   Ejemplos simples de operadores lineales acotados. Ejercicios sobre sus normas.
present   El espacio de los operadores lineales acotados.
  apuntes Continuidad de las transformaciones lineales cuyos dominios son de dimensión finita.
present apuntes Hipersubespacios de espacios vectoriales (repaso de álgebra; lineal).
present   Funcionales lineales acotados. El espacio dual de un espacio normado.
present apuntes Funcionales lineales acotados y sus núcleos.
present   Descripción de los espacios duales de lp y c0.
  apuntes Extensión de un funcional lineal real acotado a un subespacio más grande.
  apuntes Teorema de Hahn–Banach, versión algebraica real.
  apuntes Teorema de Hahn–Banach, versión algebraica compleja.
present apuntes Teorema de Banach–Schauder sobre transformaciones lineales continuas abiertas.
  apuntes Teorema de la gráfica cerrada.
present apuntes El principio de acotación uniforme (el teorema de Banach–Steinhaus).
present   El espacio bidual del espacio normado.
present   Álgebra de Banach de operadores lineales acotados en un espacio de Banach.
present   La serie de Neumann.
present apuntes El grupo de los operadores lineales acotados invertibles es abierto.
present apuntes El espectro del operador lineal acotado.
present   Teorema de Gelfand: el espectro de cualquier operador lineal acotado es no vacío.
present   El espectro del operador de multiplicación en los espacios de funciones p-integrables.
problemas Problemas para examen. Tema: operadores lineales en espacios de Banach.


Transformaciones lineales compactas en espacios de Banach


    Transformaciones lineales compactas en espacios de Banach.
present   Composiciones de operadores lineales compactas con operadores lineales acotadas.
  Problemas para examen. Tema: transformaciones lineales compactas en espacios de Banach.


Espacios con producto interno


present apuntes Formas sesquilineales: definición y ejemplos.
present apuntes Propiedades elementales de las formas sesquilineales.
present apuntes La forma cuadrática asociada a la forma sesquilineal.
  apuntes Identidades de polarización para las formas sesquilineales.
present apuntes Formas sesquilineales hermíticas.
present apuntes Productos internos y sus propiedades elementales.
  apuntes Ejemplos de productos internos.
present   La proyección ortogonal de un vector sobre un subespacio unidimensional.
  apuntes La identidad de Binet–Cauchy y sus aplicaciones. Este tema no se usa mucho en el curso, pero proporciona una demostración elemental de la desigualdad de Cauchy (que es un caso particular de la desigualdad de Schwarz).
present apuntes La desigualdad de Schwarz.
present apuntes La norma inducida por un producto interno. Identidad de paralelogramo. Identidad de polarización.
present   La identidad de Apolonio en espacios con producto interno.
  apuntes Algunas propiedades elementales de la topología en un espacio con producto interno.
present apuntes La proyección ortogonal de un vector al subespacio generado por una lista ortogonal de vectores.
present   Ortogonalización de Gram–Schmidt.
  apuntes Isometrías lineales entre espacios con producto interno.
tarea Tarea de ejercicios pequeños. Tema: Espacios con producto interno.
problemas Problemas para examen. Tema: Espacios con producto interno.


Espacios de Hilbert


    Espacios de Hilbert. Ejemplos de espacios de Hilbert.
present apuntes El teorema sobre el elemento de la norma mínima en un conjunto convexo cerrado no vacío.
  apuntes La proyección ortogonal sobre un subespacio cerrado de un espacio de Hilbert.
present video Descomposición ortogonal del vector en el espacio de Hilbert.
present apuntes Teorema de Fréchet–Riesz sobre la representación de funcionales lineales acotados en espacios de Hilbert.
present   Extensión de funciones lineales continuos en espacios de Hilbert.
  apuntes Un recordatorio sobre series de números no negativos.
present apuntes Convergencia de series ortogonales en espacios de Hilbert.
present apuntes Sucesiones ortonormales en espacios de Hilbert.
present   Bases ortonormales (numerables) en espacios de Hilbert.
  apuntes Isomorfismos de espacios de Hilbert.
  apuntes La base ortonormal de Fourier.
problemas Problemas para examen. Tema: Espacios de Hilbert.
  apuntes Sumas de familias (tema optativo).
  apuntes Conjuntos ortonormales (tema optativo).
    Bases ortonormales no numerables en espacios de Hilbert (tema optativo).
    Espacios de Hilbert con núcleo reproductor (tema optativo).
    Tarea adicional: demostrar que los polinomios de Laguerre forman una base ortonormal en cierto espacio de Hilbert. Tarea similar para los polinomios de Hermite, para los polinomios de Legendre.
    Tarea adicional: demostración del teorema de Moore–Aronszajn.


Operadores lineales acotados en espacios de Hilbert


present apuntes Las formas sesquilineales acotadas.
present apuntes Correspondencia entre los operadores lineales acotados y las formas sesquilineales acotadas.
present apuntes El operador adjunto.
  apuntes Propiedades del operador adjunto.
  apuntes Operadores normales y sus propiedades básicas.
present apuntes Isometrías lineales entre los espacios de Hilbert.
present apuntes Operadores unitarios.
present apuntes Operadores autoadjuntos y sus formas cuadráticas.
present apuntes Operadores autoadjuntos y sus espectros.
    Proyecciones autoadjuntas. Correspondencia entre las proyecciones autoadjuntas y los subespacios cerrados.
problemas Problemas para examen. Tema: operadores lineales acotados en espacios de Hilbert.

Literatura principal


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