Análisis Matemático IV
Licenciatura en Física y Matemáticas, ESFM del IPN

El curso podría llamarse Introducción al Análisis Funcional.

Contenido:



Espacios normados


Espacios normados. Espacios de Banach.
Bolas en espacios normados.
Espacios de las sucesiones acotadas, convergentes y convergentes al cero.
Espacio de las sucesiones sumables en la potencia p.
Algunos espacios normados de funciones.
Espacios cocientes de espacios normados y seminormados.
Los espacios de funciones p-integrables.
Criterios de completez de espacios métricos y normados.
Los espacios de funciones p-integrables son completos.
Comparación de normas.
Normas en Cn y su equivalencia entre si.
Lema de Riesz y el teorema sobre la bola unitaria en espacios normados de dimensión infinita.
Sumas de espacios normados.
Bases de Schauder.
Espacios normados separables.
Problemas para examen. Tema: espacios normados, espacios de Banach.

Operadores lineales acotados en espacios normados


Operadores lineales acotados. La norma de un operador lineal.
Prueba de Schur para operadores integrales.
Operadores de desplazamiento en espacios de sucesiones.
Gerardo Ramos Vázquez. Operadores de multiplicación en el espacio de sucesiones.
Gerardo Ramos Vázquez. Los operadores de multiplicación en espacios de medida sigma-finita.
Ejemplos simples de operadores lineales acotados. Ejercicios sobre sus normas.
El espacio de los operadores lineales acotados.
Funcionales lineales acotados. El espacio dual de un espacio normado.
Descripción de los espacios duales de lp y c0.
Teorema de Hahn–Banach.
Teorema de Banach–Schauder sobre transformaciones lineales continuas abiertas.
Teorema de la gráfica cerrada.
El principio de acotación uniforme (el teorema de Banach–Steinhaus).
El grupo de los operadores lineales acotados invertibles.
El espectro del operador lineal acotado.
Teorema de Gelfand: el espectro de cualquier operador lineal acotado es no vacío.
El espectro del operador de multiplicación en los espacios de funciones p-integrables.
Problemas para examen. Tema: operadores lineales acotados en espacios de Banach.

Espacios de Hilbert


Formas sesquilineales y sus propiedades elementales.
Productos internos y sus propiedades elementales.
La proyección ortogonal de un vector sobre un subespacio unidimensional.
Identidad de Binet–Cauchy y sus aplicaciones. Este tema no se usa mucho en el curso, pero proporciona una demostración elemental de la desigualdad de Cauchy (que es un caso particular de la desigualdad de Schwarz).
Desigualdad de Schwarz.
La norma inducida por un producto interno. Identidad de paralelogramo. Identidad de polarización.
Espacios de Hilbert. Ejemplos de espacios de Hilbert.
Teorema sobre el elemento de la norma mínima en un conjunto convexo cerrado no vacío.
Proyección ortogonal sobre un subespacio cerrado de un espacio de Hilbert.
Descomposición ortogonal de un vector en espacio de Hilbert.
Teorema de Fréchet–Riesz sobre la representación de funcionales lineales acotados en espacios de Hilbert.
Ortogonalización de Gram–Schmidt.
Convergencia de series ortogonales en espacios de Hilbert.
Sucesiones ortonormales en espacios de Hilbert.
Bases ortonormales (numerables) en espacios de Hilbert.
La base ortonormal de Fourier.
Problemas para examen. Tema: Espacios de Hilbert.
Familias ortonormales en espacios de Hilbert (tema optativo).
Bases ortonormales no numerables en espacios de Hilbert (tema optativo).
Espacios de Hilbert con núcleo reproductor (tema optativo).
Tarea adicional: demostrar que los polinomios de Laguerre forman una base ortonormal en cierto espacio de Hilbert. Tarea similar para los polinomios de Hermite, para los polinomios de Legendre.
Tarea adicional: demostración del teorema de Moore–Aronszajn.

Series de Fourier y coeficientes de Fourier

Funciones 2π-periódicas (un tema auxiliar para estudiar series de Fourier).
Series de Fourier absolutamente convergentes.
Convolución sobre los enteros y el álgebra de Wiener.
Ejemplo: el núcleo de Poisson periódico.
Coeficientes de Fourier y transformadas simples de la función.
El lema de Riemann–Lebesgue para los coeficientes de Fourier.
Propiedad inyectiva de los coeficientes de Fourier.
Teoremas sobre series de Fourier para funciones cuadrado integrables.
Omar Heberto Nahum Jaimes Escamilla. La base ortonormal de Fourier en un intervalo real.
Estimaciones para las funciones coseno y seno.
Convolución periódica sobre un intervalo finito.
El núcleo de Dirichlet 2π-periódico.
Convergencia puntual de series de Fourier asociadas a una función.
Núcleo de Fejér.
Núcleos aproximativos. Aproximación uniforme de una función continua por sus promedios de Fejér–Cesàro.
Problemas para examen. Tema: series de Fourier y coeficientes de Fourier.
Los siguientes temas ya no se incluyen en el curso. Algunos pueden servir como tareas adicionales.
Los enteros como un grupo localmente compacto: medida invariante y caracteres.
Isomorfía entre ℝ/ℤ, ℝ/(2πℤ) y 𝕋.
𝕋 como un grupo localmente compacto: medida invariante y caracteres.
Sucesiones (bilaterales) de soporte finito.
Convolución de sucesiones (bilaterales) de soporte finito.
Convolución de sucesiones sumables (teorema de Young).
Transformada finita de Fourier y frecuencias reales.
Aproximación de los coeficientes de Fourier por la transformada finita de Fourier.
Programación: aproximación de los coeficientes de Fourier por la transformada finita de Fourier.
Cálculo de sumas trigonométricas por medio de la transformada finita de Fourier.

Operadores en espacios de Hilbert

En este semestre no alcanzamos estudiar esta unidad.


Correspondencia entre los operadores lineales acotados y las formas sesquilineales acotadas.
Operador adjunto.
Operadores normales.
Operadores unitarios.
Operadores autoadjuntos. La norma del operador autoadjunto.
Proyecciones autoadjuntas. Correspondencia entre proyecciones autoadjuntas y subespacios cerrados.
Álgebras C*: definición y ejemplos.
Propiedades rígidas de álgebras C*.
Problemas para examen. Tema: operadores lineales acotados en espacios de Hilbert.




Literatura principal


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