Análisis Matemático IV
Licenciatura en Física y Matemáticas, ESFM del IPN

El curso podría llamarse Introducción al Análisis Funcional.

Contenido:


Espacios métricos y topológicos (repaso)


Espacios topológicos. El interior y la cerradura de un conjunto.
Funciones continuas.
El producto de dos espacios topológicos.
Espacios métricos: definición y ejemplos.
Bolas en espacios métricos.
Topología inducida por una métrica.
Espacios pseudométricos.
Espacios métricos completos.
Funciones uniformemente continuas.
Completación de espacios métricos.
Teorema del punto fijo (de Banach).
Teorema de Picard sobre la existencia y unicidad de la solución del problema de Cauchy.
Teorema de Baire.
Espacios métricos totalmente acotados.
Espacios métricos compactos.
Problemas para examen. Tema: espacios métricos (repaso).
Cálculo de las distancias entre los vértices de un grafo (tarea adicional).
Distancia hiperbólica en el semiplano superior (tarea adicional).
Demostración del teorema de la función implicita usando el teorema del punto fijo (tarea adicional).
Distancia de Hausdorff (tarea adicional).

Espacios normados


Espacios normados y espacios de Banach.
Bolas en espacios normados.
Comparación de normas.
Normas en Rn.
Lema de Riesz y el teorema sobre la bola unitaria en espacios normados de dimensión infinita.
Espacios de las sucesiones acotadas, convergentes y convergentes al cero.
Espacio de las sucesiones sumables en la potencia p.
Los espacios de funciones p-integrables.
Criterios de completitud de espacios métricos y normados.
Espacios Lp.
Los espacios de funciones p-integrables son completos.
Espacios cocientes de espacios normados.
El producto de dos espacios normados.
Bases de Schauder.
Espacios normados separables.
Problemas para examen. Tema: espacios normados, espacios de Banach.

Operadores lineales acotados en espacios normados


Operadores lineales acotados. La norma de un operador lineal.
Prueba de Schur para operadores integrales.
Operadores de desplazamiento en espacios de sucesiones.
Gerardo Ramos Vázquez. Operadores de multiplicación en el espacio de sucesiones.
Gerardo Ramos Vázquez. Los operadores de multiplicación en espacios de medida sigma-finita.
El espacio de los operadores lineales acotados.
Funcionales lineales acotados. El espacio dual de un espacio normado.
Descripción de los espacios duales de lp y c0.
Teorema de Hahn–Banach.
Teorema de Banach–Schauder sobre transformaciones lineales continuas abiertas.
Teorema de la gráfica cerrada.
El principio de acotación uniforme (el teorema de Banach–Steinhaus).
El grupo de los operadores lineales acotados invertibles.
El espectro del operador lineal acotado.
Problemas para examen. Tema: operadores lineales acotados en espacios de Banach.

Espacios de Hilbert


Formas sesquilineales y sus propiedades elementales.
Producto interno y sus propiedades elementales.
Identidad de Binet–Cauchy y sus aplicaciones.
Desigualdad de Schwarz.
La norma inducida por un producto interno. Identidad de paralelogramo. Identidad de polarización.
Espacios de Hilbert. Ejemplos de espacios de Hilbert.
Teorema sobre el elemento de la norma mínima en un conjunto convexo cerrado no vacío.
Proyección ortogonal sobre un subespacio cerrado de un espacio de Hilbert.
Teorema de Fréchet–Riesz sobre la representación de funcionales lineales acotados en espacios de Hilbert.
Ortogonalización de Gram–Schmidt.
Sucesiones ortonormales y bases ortonormales numerables en espacios de Hilbert.
Espacios de Hilbert separables y su equivalencia al espacio de sucesiones cuadrado sumables.
La base ortonormal de Fourier.
Problemas para examen. Tema: Espacios de Hilbert.
Familias ortonormales en espacios de Hilbert (tema optativo).
Bases ortonormales no numerables en espacios de Hilbert (tema optativo).
Espacios de Hilbert con núcleo reproductor (tema optativo).
Tarea adicional: demostrar que los polinomios de Laguerre forman una base ortonormal en cierto espacio de Hilbert. Tarea similar para los polinomios de Hermite, para los polinomios de Legendre.
Tarea adicional: demostración del teorema de Moore–Aronszajn.

Operadores en espacios de Hilbert


Correspondencia entre los operadores lineales acotados y las formas sesquilineales acotadas.
Operador adjunto.
Operadores normales.
Operadores unitarios.
Operadores autoadjuntos. La norma del operador autoadjunto.
Proyecciones autoadjuntas. Correspondencia entre proyecciones autoadjuntas y subespacios cerrados.
Álgebras C*: definición y ejemplos.
Propiedades rígidas de álgebras C*.
Problemas para examen. Tema: operadores lineales acotados en espacios de Hilbert.




Literatura principal


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