Análisis Matemático II
Licenciatura en Física y Matemáticas, ESFM del IPN

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El programa (temario) de la asignatura Análisis Matemático II se divide en las siguientes partes:

  1. Temas preliminares.
  2. Medida abstracta.
  3. Integración abstracta.
  4. Extensión de medidas.
  5. Espacios Lp.
  6. Integración sobre productos de espacios.

Por su temario, la materia puede llamarse Análisis Real.


Objectivo. Estudiar o repasar la construcción de la integral de Lebesgue y demostrar sus propiedades principales.

Aplicaciones. Análisis Matemático II sirve como base para Análisis Matemático III y IV, también puede ser útil para estudiar la Teoría de Probabilidad.

Prerrequisitos. Antes de inscribirse a esta asignatura es necesario repasar todos los temas marcados con la palabra “repaso”, incluso cotas superiores e inferiores, supremos e ínfimos, conjuntos y familias de conjuntos, imágenes y preimágenes de conjuntos bajo funciones, topología inducida por una métrica, conceptos básicos de topología general.

Un ejemplo simple de archivo TeX. Demostración de la fórmula para A \ (B \ C).
Un ejemplo más avanzado. Otras dos demostraciones de la fórmula para A \ (B \ C).

Temas preliminares

Vamos a repasar rápidamente algunos conceptos preliminares.
Negación, conjunción y disyunción.
Cuantificadores sobre conjuntos finitos.
Operaciones con conjuntos.
Imágenes y preimágenes con respecto a funciones que actúan sobre conjuntos finitos.
Propiedades de imágenes y preimágenes.
Propiedades de imágenes y preimágenes para familias de conjuntos.
Operaciones con conjuntos (repaso).
Operaciones con familias de conjuntos (repaso).
Operaciones con familias monótonas de conjuntos.
Sucesiones monótonas de conjuntos.
Función indicadora (repaso).
Imágenes y preimágenes (repaso).
Espacios métricos, definición y ejemplos (repaso).
Bolas en espacios métricos (repaso).
Topología inducida por una distancia (repaso).
Nociones básicas de Topología General (repaso).
Eje real extendido.
Cotas superiores e inferiores.
Supremo e ínfimo de un conjunto.
Supremo, ínfimo y desigualdades.
Supremo, ínfimo y operaciones aritméticas.
Topología del eje real. Estructura de conjuntos abiertos de números reales.
Límite superior y límite inferior de una sucesión.
Propiedades aritméticas de límites superiores e inferiores de sucesiones de números reales.
 
Tarea individual de temas preliminares. Versión antigua.
Problemas para examen. Temas preliminares.
Tarea adicional. Distancia en el eje real extendido.


Medida abstracta

Sigma-álgebras.
Medidas.
Funciones medibles.
Todo conjunto abierto en el plano se puede representar como una unión numerable de rectángulos abiertos.
Funciones medibles reales y complejas.
Funciones simples.
Aproximación de funciones positivas medibles por funciones simples positivas medibles.
Modos de convergencia: uniforme, puntual, casi en todas partes, en medida, casi uniforme.
Descripción de varios modos de convergencia en términos de ciertos conjuntos auxiliares.
Ejemplos de análisis de varios modos de convergencia.
Relaciones entre varios modos de convergencia.
 
Tarea. Tema: Medidas. Versión antigua.
Problemas para examen. Tema: medida abstracta.
Tarea adicional. Sigma-álgebras numerables.
Tarea adicional. El rango esencial de una función medible.


Integración abstracta

Integración de funciones simples medibles positivas.
Integración de funciones positivas medibles.
Desigualdades de Markov y Chebyshov.
Teorema de convergencia monótona. Lema de Fatou.
Integral de la suma finita o numerable de funciones medibles positivas.
Medida definida como la integral de Lebesgue de una función medible positiva con conjunto de integración variable.
Integración de funciones reales.
Integración de funciones complejas.
Teorema de Lebesgue de convergencia dominada.
Funciones iguales casi en todas partes.
Integrales de series y conjuntos de medida cero.
 
Tarea. Tema: Integral de Lebesgue. Versión antigua.
Problemas para examen. Tema: integración abstracta.
Tarea adicional. Familias uniformemente integrables y teorema de convergencia de Vitali.
Tarea adicional. Construcción de la Integral de Bochner.


Extensión de medidas

Semianillos de conjuntos.
Anillos de conjuntos.
Premedidas. Extensión de una premedida de un semianillo al anillo generado.
Clases monótonas de conjuntos.
Medidas exteriores.
Extensión de Carathéodory.
Completación de una medida.
Construcción de la medida de Lebesgue por medio del teorema de Carathéodory.
Teorema de Luzin.
 
Problemas para examen. Tema: Extensión de medidas.
Tarea adicional. Pseudométrica entre conjuntos generada por una medida exterior.


Espacios Lp

Conjuntos convexos (repaso).
Funciones monótonas (repaso).
Funciones convexas (repaso).
Funciones convexas de una variable real.
Desigualdad de Jensen.
Desigualdades de Young, Hölder y Minkowski.
Supremo esencial de funciones positivas.
Espacios Lp.
Completitud de espacios métricos y normados (repaso).
Completitud de los espacios Lp.
Aproximación por funciones continuas.
 
Problemas para examen. Tema: Espacios Lp.


Integración sobre productos de espacios

Medibilidad sobre productos.
Productos de medidas.
Teoremas de Tonelli y Fubini.
Completación de productos de medidas.
Convolución en Rn.
 
Problemas para examen. Tema: Integración sobre productos de espacios.




Los siguientes temas no se incluyen en este curso.



Medidas positivas de Borel

Espacios topológicos localmente compactos.
Particiones de unidad.
Teorema de representación de Riesz. Unicidad. Idea de la demostración de la existencia.
Teorema de representación de Riesz. Demostración de la existencia.
Propiedades de regularidad de medidas de Borel.
Medida de Lebesgue.
Propiedades de continuidad de funciones medibles (teorema de Lusin).
 
Problemas para examen. Tema: Medidas positivas de Borel.


Medidas complejas

Variación total de una medida compleja.
Continuidad absoluta de una medida con respecto a otra.
Teorema de Radon-Nikodym y teorema de la descomposición de Lebesgue.
Representación de funcionales lineales acotados sobre Lp.
Teorema de representación de Riesz de los funcionales lineales acotados sobre Cc(X).
 
Problemas para examen. Tema: medidas complejas.
La lista no está completa todavía.


Derivación

Derivadas de medidas.
Teorema fundamental del cálculo.
Transformaciones derivables.
 
Problemas. Tema: Derivación.




Examen extraordinario.


Literatura

Muchas definiciones y demostraciones siguen el libro de Rudin:

  1. W. Rudin, Real and complex analysis.
    McGrow–Hill, 1987.

El estilo del libro de Rudin es demasiado breve, por eso se recomienda completarlo con algún otro libro, por ejemplo:

  1. P. R. Halmos, Measure theory.
    New York, 1950.
  2. H. L. Royden, Real analysis.
    Prentice Hall, 2010.
  3. V. I. Bogachev, Measure theory.
    Springer, 2007. ISBN-13: 978-3-540-34513-8.


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