Análisis Matemático II
Licenciatura en Física y Matemáticas, ESFM del IPN

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El programa (temario) de la asignatura Análisis Matemático II se divide en las siguientes partes:

  1. Temas preliminares.
  2. Medida abstracta y funciones medibles.
  3. Extensión de medidas.
  4. Modos de convergencia de sucesiones de funciones.
  5. Integración abstracta.
  6. Espacios Lp.
  7. Integración sobre productos de espacios de medida.

Estructura del curso (presentación).

Por su temario, la materia puede llamarse Análisis Real.


Objectivo. Estudiar o repasar la construcción de la integral de Lebesgue y demostrar sus propiedades principales.

Aplicaciones. Análisis Matemático II sirve como una base para estudiar análisis armónico y análisis funcional (una parte de esto se ve en Análisis Matemático III y IV), también es útil para el análisis de ecuaciones diferenciales, para la teoría de probabilidad y procesos estocásticos.

Prerrequisitos. Antes de inscribirse a esta asignatura, es necesario repasar todos los temas marcados con la palabra “repaso”, incluso cotas superiores e inferiores, supremos e ínfimos, conjuntos y familias de conjuntos, imágenes y preimágenes de conjuntos bajo funciones, topología inducida por una métrica, conceptos básicos de topología general.

Un ejemplo simple de archivo TeX. Demostración de la fórmula para A \ (B \ C).
Un ejemplo más avanzado. Otras dos demostraciones de la fórmula para A \ (B \ C).

Temas preliminares

Vamos a repasar rápidamente algunos conceptos preliminares.
Todos los ejercicios simples juntos.
Negación, conjunción y disyunción.
Cuantificadores sobre conjuntos finitos.
Operaciones con conjuntos.
Imágenes y preimágenes con respecto a funciones que actúan sobre conjuntos finitos.
Propiedades de imágenes y preimágenes.
Propiedades de imágenes y preimágenes para familias de conjuntos.
Operaciones con conjuntos (repaso).
Algunos elementos de lógica con cuantificadores (repaso).
Operaciones con familias de conjuntos (repaso).
Redondeo de números reales hacia abajo y hacia arriba. El piso y el techo. La parte entera. Repaso.
Operaciones con familias monótonas de conjuntos.
Estructura de sucesiones crecientes de conjuntos.
Estructura de sucesiones decrecientes de conjuntos.
Función indicadora (repaso).
Imágenes y preimágenes (repaso).
Espacios métricos, definición y ejemplos (repaso).
Bolas en espacios métricos (repaso).
Topología inducida por una distancia (repaso).
Nociones básicas de topología general (repaso).
Eje real extendido.
Cotas superiores e inferiores.
El supremo y el ínfimo de un conjunto.
El supremo, el ínfimo y desigualdades.
El supremo y el ínfimo de la unión de una familia de conjuntos.
El supremo, el ínfimo y operaciones aritméticas.
El supremo y el ínfimo de una función en un conjunto.
Topología del eje real. Estructura de conjuntos abiertos de números reales.
Límites de funciones monótonas (repaso).
Límites de sucesiones monótonas (repaso).
Definición del límite superior y del límite inferior de una sucesión.
Criterios de desigualdades elementales para el límite superior y el límite inferior de una sucesión.
Propiedades aritméticas de límites superiores e inferiores de sucesiones de números reales.
 
Tarea de temas preliminares (por equipos). Versión actual.
Ejemplo de solución de la tarea.
Problemas para examen. Temas preliminares.
Tarea adicional. Distancia en el eje real extendido.


Medida abstracta y funciones medibles

Sigma-álgebras.
La sigma-álgebra generada por un conjunto de conjuntos.
Medidas.
La medida de la unión de una sucesión creciente de conjuntos.
La propiedad subaditiva de las medidas.
Funciones medibles.
La distancia de un punto a un conjunto (repaso).
Todo conjunto abierto en el plano se puede representar como una unión numerable de rectángulos abiertos.
La parte positiva y la parte negativa de números reales.
Funciones reales medibles.
Funciones complejas medibles.
Particiones de conjuntos.
Funciones simples.
Aproximación de funciones positivas medibles por funciones simples positivas medibles.
Operaciones aritméticas con funciones simples.
 
Problemas para examen. Tema: medida abstracta.
Tarea adicional. Sigma-álgebras finitas o numerables.
Tarea adicional. Programación: álgebras de subconjuntos sobre un conjunto finito.
Tarea adicional. El rango esencial de una función medible.


Extensión de medidas

Semianillos de conjuntos.
Anillos de conjuntos.
Premedidas. Extensión de una premedida de un semianillo al anillo generado.
La longitud de intervalos semiabiertos es una premedida.
Clases monótonas de conjuntos (tema optativo).
Medidas exteriores.
Extensión de Carathéodory.
Completación de una medida.
Construcción de la medida de Lebesgue unidimensional por medio del teorema de Carathéodory.
Existencia de conjuntos de números reales que no son Lebesgue medibles.
Construcción de la medida de Lebesgue por medio del teorema de Carathéodory.
Teorema de Luzin.
 
Problemas para examen. Tema: Extensión de medidas.
Tarea adicional. Pseudométrica entre conjuntos generada por una medida exterior.


Modos de convergencia de sucesiones de funciones

Modos de convergencia: uniforme, puntual, casi en todas partes, en medida, casi uniforme.
Convergencia uniforme.
Convergencia casi uniforme.
Descripción de varios modos de convergencia en términos de ciertos conjuntos auxiliares.
Ejemplos de análisis de varios modos de convergencia.
Convergencia en medida.
Relaciones entre varios modos de convergencia.
Convergencia de Cauchy en medida.
 
Tarea (por equipos). Tema: varios modos de convergencia de sucesiones de funciones. Versión actual.
Problemas para examen. Tema: modos de convergencia de sucesiones de funciones.


Integración abstracta

Plan de la unidad (Integral de Lebesgue).
Integración de funciones simples medibles positivas.
Propiedades de la integral de funciones simples medibles positivas.
Integración de funciones positivas medibles.
Desigualdades de Markov y Chebyshov.
Algunas demostraciones falsas del teorema de la convergencia monótona.
Teorema de la convergencia monótona.
Lema de Fatou.
La integral de la suma finita o numerable de funciones medibles positivas.
Medida definida como la integral de Lebesgue de una función medible positiva con conjunto de integración variable.
Integración de funciones reales.
Integración de funciones complejas.
Teorema de Lebesgue de la convergencia dominada.
Funciones iguales casi en todas partes.
Integrales de series de funciones complejas.
Continuidad de la integral de Lebesgue respecto al conjunto de integración.
 
Tarea. Tema: Integral de Lebesgue. Versión antigua.
Problemas para examen. Tema: integración abstracta.
Tarea adicional. Familias uniformemente integrables y teorema de convergencia de Vitali.
Tarea adicional. Construcción de la integral de Bochner.



Espacios Lp

Conjuntos convexos (repaso).
Funciones monótonas (repaso).
Funciones convexas (repaso).
Funciones convexas de una variable real.
Desigualdad de Jensen.
Desigualdades de Young, Hölder y Minkowski.
Supremo esencial de funciones positivas.
Espacios Lp.
Completitud de espacios métricos y normados (repaso).
Completitud de los espacios Lp.
Aproximación por funciones continuas.
 
Problemas para examen. Tema: Espacios Lp.


Integración sobre productos de espacios de medida

Clases monótonas de conjuntos.
Medibilidad sobre productos.
Productos de medidas.
Teorema de Tonelli.
Teorema de Fubini.
 
Problemas para examen. Tema: Integración sobre productos de espacios de medida.


Literatura

Muchas definiciones y demostraciones siguen el libro de Rudin. El libro de Royden y Fitzpatrick también es muy cercano.

  1. Walter Rudin, Real and complex analysis. McGrow–Hill, 1987.
  2. Halsey L. Royden, Patrick Fitzpatrick, Real analysis. 4th edition. Prentice Hall, 2010.

El estilo del libro de Rudin es demasiado breve, por eso se recomienda completarlo con algún otro libro.

  1. Gerald B. Folland, Real Analysis. Modern Techniques and Their Applications. Second Edition. Wiley, 1999.
  2. Paul R. Halmos, Measure theory. New York, 1950.
  3. Vladimir I. Bogachev, Measure theory. Springer, 2007. ISBN-13: 978-3-540-34513-8.
  4. José María Rocha Martínez, Un primer curso de integración de Lebesgue en Rn, IPN.
  5. Bernard R. Gelbaum, John M. H. Olmsted, Counterexamples in analysis. Dover Publications, 1992.


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