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\newtheorem{prop}{Proposición}
\theoremstyle{definition}
\newtheorem{defn}{Definición}

\newcommand{\iffwithcomment}[1]{\quad\xLongleftrightarrow{\text{#1}}\quad}

\author{Pepito Estudiántez Principiántez}
\title{Una fórmula para la diferencia de conjuntos}

\begin{document}
\maketitle

\noindent
Recordemos la definición de la diferencia de conjuntos:

\begin{defn}[diferencia de conjuntos] \label{defn:difference_of_sets}
Sean $A$ y $B$ algunos conjuntos.
Entonces su \emph{diferencia} $A\setminus B$
consiste de todos los elementos que pertenecen al conjunto $A$
y al mismo tiempo no pertenecen al conjunto $B$:
\begin{equation} \label{eq:def_setminus}
x\in A\setminus B
\qquad\Longleftrightarrow\qquad
\bigl(x\in A\bigr)\ \wedge\ \overline{\bigl(x\in B\bigr)}.
\end{equation}
\end{defn}

\begin{prop}
Sean $A,B,C$ algunos conjuntos. Entonces
\begin{equation} \label{eq:setminus_setminus}
A\setminus(B\setminus C)=(A\setminus B)\cup(A\cap C).
\end{equation}
\end{prop}

\begin{proof}
Mostremos que un elemento arbitrario $x$
pertenece al lado izquierdo de \eqref{eq:setminus_setminus}
si, y sólo si, este elemento pertenece al lado derecho de \eqref{eq:setminus_setminus}:
\begin{align*}
x\in A\setminus(B\setminus C)
&\iffwithcomment{(i)}
\bigl(x\in A\bigr)\ \wedge\ \overline{x\in B\setminus C}
\\
&\iffwithcomment{(ii)}
\bigl(x\in A\bigr)\ \wedge\ \overline{\bigl(x\in B\bigr)\ \wedge\ \overline{\bigl(x\in C\bigr)}}
\\
&\iffwithcomment{(iii)}
\bigl(x\in A\bigr)\ \wedge\ \biggl(\overline{\bigl(x\in B\bigr)}\ \vee\ \overline{\overline{\bigl(x\in C\bigr)}}\biggr)
\\
&\iffwithcomment{(iv)}
\bigl(x\in A\bigr)\ \wedge\ \biggl(\overline{\bigl(x\in B\bigr)}\ \vee\ \bigl(x\in C\bigr)\biggr)
\\
&\iffwithcomment{(v)}
\biggl(\bigl(x\in A\bigr)\ \wedge\ \overline{\bigl(x\in B\bigr)}\biggr)
\quad\vee\quad
\biggl(\bigl(x\in A\bigr)\ \wedge\ \bigl(x\in C\bigr)\biggr)
\\
&\iffwithcomment{(vi)}
x\in A\setminus B\quad\vee\quad x\in A\cap C
\\
&\iffwithcomment{(vii)}
x\in (A\setminus B)\cup(A\cap C).
\end{align*}
Justificación de los pasos:
\begin{enumerate}
\item[(i)] Por la definición \eqref{eq:def_setminus} aplicada a los conjuntos $A$ y $B\setminus C$.
\item[(ii)] Por la definición \eqref{eq:def_setminus} aplicada a los conjuntos $B$ y $C$.
\item[(iii)] Por la ley de De Morgan
\[
\overline{p\wedge q}\Leftrightarrow\overline{p}\vee\overline{q}
\]
aplicada a las proposiciones $x\in B$ y $\overline{x\in C}$.
\item[(iv)] Por la ley de la eliminación de negación doble, aplicada a la proposición $x\in C$.
\item[(v)] Por la ley distributiva $p\wedge (q\vee r)\Leftrightarrow (p\wedge q)\vee (p\wedge r)$
aplicada a las proposiciones $x\in A$, $\overline{x\in B}$, $x\in C$.
\item[(vi)] Por la definición de la diferencia y de la unión de dos conjuntos.
\item[(vii)] Por la definición de la intersección de dos conjuntos.
\end{enumerate}
\end{proof}

\end{document}
