Análisis Funcional

Programa del curso para Maestría en Ciencias Fisicomatemáticas.

Prerrequisitos: análisis real (teoría de la medida y de la integral de Lebesgue), álgebra lineal teórica. Es muy recomendable tener conocimientos de la topología general. También pueden servir conocimientos de análisis complejo, de programación y de métodos numéricos, para realizar algunos proyectos especiales.

Contenido:


Convexidad


Conjuntos convexos (repaso).
Funciones monótonas (repaso).
Funciones convexas (repaso).
Funciones convexas de una variable real.
Desigualdad de Jensen.
La desigualdad de Young (convexidad de la función exponencial).
La desigualdad de Hölder.
La desigualdad de Minkowski.
Supremo esencial de funciones positivas.
Espacios Lp.
Lista de problemas para examen. Tema: convexidad y espacios Lp.

Espacios métricos y topológicos (repaso)


Espacios topológicos. El interior y la cerradura de un conjunto.
Funciones continuas.
El producto de dos espacios topológicos.
Espacios métricos: definición y ejemplos.
Bolas en espacios métricos.
Topología inducida por una métrica.
Espacios pseudométricos.
Espacios métricos completos.
Funciones uniformemente continuas.
Completación de espacios métricos.
Teorema del punto fijo (de Banach).
Teorema de Picard sobre la existencia y unicidad de la solución del problema de Cauchy.
Teorema de Baire.
Espacios métricos totalmente acotados.
Espacios métricos compactos.
Problemas. Tema: espacios métricos.
Cálculo de las distancias entre los vértices de un grafo (tarea adicional).
Distancia hiperbólica en el semiplano superior (tarea adicional).
Demostración del teorema de la función implicita usando el teorema del punto fijo (tarea adicional).
Distancia de Hausdorff (tarea adicional).

Espacios normados


Espacios normados y espacios de Banach.
Normas en Rn.
El espacio de las sucesiones acotadas.
El espacio de las sucesiones convergentes. El espacio de las sucesiones convergentes a cero.
Espacio de las sucesiones sumables en la potencia p.
Los espacios de sucesiones p-sumables son completos.
Criterios de completitud de espacios métricos y normados.
Los espacios de funciones p-integrables son completos.
Espacio cociente de un espacio normado.
Problemas para examen. Tema: espacios normados, espacios de Banach.

Operadores en espacios normados


Operadores lineales acotados. La norma de un operador lineal.
Prueba de Schur para operadores integrales.
Operadores de desplazamiento en espacios de sucesiones.
Gerardo Ramos Vázquez. Operadores de multiplicación en el espacio de sucesiones.
Gerardo Ramos Vázquez. Los operadores de multiplicación en espacios de medida sigma-finita.
Funcionales lineales acotados. El espacio dual de un espacio normado.
Descripción de los espacios duales de lp y c0.
Teorema de Hahn–Banach.
Teorema de Banach–Schauder sobre transformaciones lineales continuas abiertas.
Teorema de la gráfica cerrada.
El principio de acotación uniforme (el teorema de Banach–Steinhaus).
Problemas para examen. Tema: operadores lineales en espacios de Banach.

Espacios de Hilbert


Producto interno y sus propiedades elementales.
Identidad de Binet–Cauchy y sus aplicaciones.
Desigualdad de Schwarz.
La norma inducida por un producto interno. Identidad de paralelogramo. Identidad de polarización.
Espacios de Hilbert.
Teorema sobre el elemento de norma mínima en un conjunto convexo cerrado.
Proyección ortogonal sobre un subespacio cerrado de un espacio de Hilbert.
El complemento ortogonal de un subespacio cerrado en un espacio de Hilbert.
Teorema de Riesz–Fréchet sobre la representación de funcionales lineales continuos en espacios de Hilbert.
Criterio de convergencia de series de vectores ortogonales en un espacio de Hilbert.
Sucesiones ortonormales y bases ortonormales en espacios de Hilbert.
Sumas de familias.
Conjuntos ortonormales.
Isomorfismos de espacios de Hilbert.
Problemas para examen. Tema: espacios de Hilbert.

Operadores en espacios de Hilbert


Correspondencia entre los operadores lineales acotados y las formas sesquilineales acotadas.
Operador adjunto.
Operadores autoadjuntos. La norma del operador autoadjunto.
Operadores normales.
Operadores unitarios.
Proyecciones autoadjuntas. Correspondencia entre proyecciones autoadjuntas y subespacios cerrados.
Lista de problemas para examen. Tema: operadores lineales acotados en espacios de Hilbert.

Literatura principal


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