Análisis Matemático III
Licenciatura en Física y Matemáticas, ESFM del IPN

El curso Análisis Matemático III abarca algunas partes de Análisis Real que no caben en Análisis Matemático II. Seguimos estudiando propiedades de medidas abstractas y propiedades de la integral de Lebesgue.

El programa (temario) de la asignatura Análisis Matemático III se divide en las siguientes partes:

  1. Integración sobre productos de espacios de medida.
  2. Conjuntos convexos y funciones convexas.
  3. Espacios Lp.
  4. Derivación e integración.
  5. Integrales dependientes de parámetros.
  6. Transformada de Fourier.
  7. Convolución.

Integración sobre productos de espacios de medida

Clases monótonas de conjuntos.
Medibilidad sobre productos.
Productos de medidas.
Teorema de Tonelli.
Teorema de Fubini.
Un ejemplo que muestra la importancia de la integrabilidad absoluta en el teorema de Fubini.
Problemas para examen. Tema: Integración sobre productos de espacios de medida.

Conjuntos convexos y funciones convexas

Conjuntos convexos (repaso).
Funciones convexas (repaso).
Funciones monótonas (repaso).
Funciones convexas de una variable real.
Desigualdad de Jensen.
Desigualdad de Young.
Problemas para examen. Tema: Conjuntos convexos y funciones convexas.

Espacios L^p

Desigualdad de Hölder.
Desigualdad de Minkowski.
El supremo esencial de funciones positivas.
Espacios Lp.
Completitud de espacios métricos y normados (repaso).
Completitud de los espacios Lp.
Aproximación por funciones continuas.
Problemas para examen. Tema: Espacios Lp.

Derivación e integración

Archivos LaTeX y Sagemath de mis presentaciones.
Límites de funciones monótonas (repaso).
Estructura de discontinuidades de una función monótona.
Límites superiores e inferiores de funciones.
Derivadas de Dini.
Lema de Vitali sobre cubiertas.
Derivada de una función monótona.
Variación total de una función.
Variación total en un intervalo dividido en varias partes.
Funciones de variación acotada.
Continuidad de la integral de Lebesgue respecto al conjunto de integración.
Funciones absolutamente continuas.
Derivada de una integral (el primer teorema de cálculo para funciones Lebesgue integrables).
Integral de la derivada (el segundo teorema de cálculo para funciones absolutamente continuas).
Integración por partes para las funciones absolutamente continuas.
Problemas para examen. Tema: derivación e integración.

Algunas tareas resueltas por estudiantes

Enrique Abdeel Muñoz de la Colina, Elisa Suárez Barraza. Igualdad en las desigualdades de Young y Hölder.
Juan Carlos Jiménez Cervantes. El producto de dos sigma-álgebras de Borel.
Iván Antonio Avilés Audelo, Germán Jordi Arreortua Reyes. Desigualdad de Hardy. Demostración basada en un cambio de variable, la desigualdad de Hölder y teorema de Tonelli (o Fubini).
Elitania Guzmán Hernández, Jessica Azuceti Moreno Zacarias. Un ejemplo que muestra la importancia de la integrabilidad absoluta en el teorema de Fubini.
Luis Alberto de la O Moya. La fórmula de complementos para la función Γ.
Paolo Alejandro Balam Aguilar Mata, Rocio Daniela Pérez Cruz. Teorema de la convergencia de Vitali para sucesiones uniformemente integrables.
Dante Arroyo Sánchez, Sofía Cano Flores. El rango esencial.
Sofía Cano Flores. Un lema sobre intervalos.

Funciones definidas por integrales. Integrales dependientes de un parámetro

En esta parte he utilizado mucho los apuntes de Biberstein. Repasemos algunas herramientas auxiliares.

Códigos LaTeX de algunas de mis presentaciones.
Algunos teoremas importantes de la teoría de la integral de Lebesgue (repaso).
Criterio de existencia de límites de funciones en términos de sucesiones (criterio de Heine).
Criterio de Cauchy para la existencia del límite de una función.
El límite de una función monótona en términos del límite de una sucesión.
Continuidad de la integral de Lebesgue respecto al conjunto de integración (repaso).
Hemos repasado algunos temas auxiliares. Empezamos estudiar los temas de esta unidad.
Integrales dependientes de un parámetro. Continuidad de la función definida por una integral.
La función Gamma de Euler: la definición, la continuidad y la fórmula recursiva.
Derivación bajo el signo integral (regla de Leibniz).
Integrales impropias: convergencia absoluta.
Comparación de la función potencia con las funciones exponencial y logarítmica (repaso).
Transformada de Abel para las sumas de productos.
Teoremas del valor medio para integrales de productos de funciones monótonas por funciones complejas.
Criterios de Abel y Dirichlet para la convergencia de integrales impropias.
El teorema sobre el cambio de variable, sin demostración.
La función Beta de Euler (Β) y su expresión en términos de Gamma.
La fórmula de complementos para la función Γ.
Ejemplos de cálculo de integrales con las funciones Γ y Β.
Ya no veremos en el curso los siguientes tres temas.
Convergencia uniforme de integrales impropias dependientes de un parámetro.
Integración de funciones definidas por integrales impropias.
Derivación de funciones definidas por integrales impropias.
Problemas del tema «Funciones definidas por integrales»:
cálculo de las integrales de Dirichlet, Fresnel y Poisson,
fórmula de los complementos para la función Gamma (fórmula de reflexión de Euler),
continuidad y derivadas parciales del potencial volúmico,
regla de Leibniz con límites variables.
Ideas de soluciones de algunos ejercicios.
Segundo examen parcial.

Transformada de Fourier

Motivación de la transformada de Fourier.
Caracteres del grupo ℝ (tema optativo).
Transformada de Fourier de funciones integrables.
Aproximación de la transformada de Fourier sobre números reales por la transformada finita de Fourier.
Programación: aproximación de la transformada de Fourier sobre la recta real por la transformada finita de Fourier.
La transformada de Fourier, traslaciones y dilataciones.
La transformada de Fourier y la derivación.
La transformada de Fourier de la función de Gauss.
El núcleo de calor.
La transformada de Fourier del núcleo de Poisson.
El lema de Riemann–Lebesgue.
Convolución sobre el eje real.
Teorema de convolución.
Núcleos aproximativos y sucesiones de Dirac sobre el eje real.
La clase de Schwartz y la transformada de Fourier.
Fórmula de inversión para la transformada de Fourier.
La identidad de Plancherel.
La transformada de Fourier y los desplazamientos.
Lista de problemas para examen. Tema: transformada de Fourier en ℝ.

Convolución (algunos temas no incluidos en el curso)

Convolución en el espacio L1(Rn).
Aplicación de la convolución a estadística: densidad de la suma de dos variables aleatorias absolutamente continuas.
Álgebras de Banach: definición y ejemplos.
Convolución de funciones pertenecientes a espacios Lp(Rn).
Sucesiones de Dirac.
Ejemplos de convoluciones.
Tareas del tema «Convolución».

Literatura (fuentes principales)

  1. W. Rudin. Real and Complex Analysis.
  2. H. L. Royden. Real Analysis. Macmillan.
  3. J. M. Rocha Martínez. Un primer curso de integración de Lebesgue en Rn.
  4. O. Biberstein. Teoría de la Integral. Notas de la E.S.F.M. del I.P.N.
  5. A. N. Kolmogorov y S. V. Fomin. Elementos de la Teoría de Funciones y del Análisis Funcional. Mir.
  6. Bernard R. Gelbaum and John M. H. Olmsted. Counterexamples in Analysis.


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