Análisis Matemático III
Licenciatura en Física y Matemáticas, ESFM del IPN


El programa (temario) de la asignatura Análisis Matemático III se divide en las siguientes partes:

  1. Espacios Lp.
  2. Integrales dependientes de parámetros.
  3. Derivación e integración.
  4. Transformada de Fourier.
  5. Convolución.

Espacios Lp

Conjuntos convexos (repaso).
Funciones convexas (repaso).
Funciones monótonas (repaso).
Funciones convexas de una variable real.
Desigualdad de Jensen.
Desigualdades de Young, Hölder y Minkowski.
Supremo esencial de funciones positivas.
Espacios Lp.
Completitud de espacios métricos y normados (repaso).
Completitud de los espacios Lp.
Aproximación por funciones continuas.
Problemas para examen. Tema: Espacios Lp.

Funciones definidas por integrales
(Integrales dependientes de un parámetro)

Algunos teoremas importantes de la teoría de la integral de Lebesgue (repaso).
Criterio de existencia de límites de funciones en términos de sucesiones (criterio de Heine).
Integrales dependientes de un parámetro. Continuidad de la función definida por una integral.
Derivación bajo el signo integral (regla de Leibniz).
Integrales impropias: convergencia absoluta.
Continuidad de la integral de Lebesgue respecto al conjunto de integración.
Teoremas del valor medio para integrales de funciones monótonas.
Criterios de Abel y Dirichlet para la convergencia de integrales impropias.
Convergencia uniforme de integrales impropias dependientes de un parámetro.
Integración de funciones definidas por integrales impropias.
Derivación de funciones definidas por integrales impropias.
Funciones Gamma y Beta (Γ y Β).
Problemas del tema «Funciones definidas por integrales»:
cálculo de las integrales de Dirichlet, Fresnel y Poisson,
fórmula de los complementos para la función Gamma (fórmula de reflexión de Euler),
continuidad y derivadas parciales del potencial volúmico,
regla de Leibniz con límites variables.


Derivación e integración

Lema de Vitali sobre cubiertas.
Derivada de una función monótona.
Funciones de variación acotada.
Derivada de una integral.
Funciones absolutamente continuas.
Problemas para examen. Tema: derivación e integración.


Transformada de Fourier

Motivación de la transformada de Fourier.
Caracteres del grupo ℝ (tema optativo).
Transformada de Fourier de funciones integrables.
Aproximación de la transformada de Fourier sobre números reales por la transformada finita de Fourier.
Programación: aproximación de la transformada de Fourier sobre la recta real por la transformada finita de Fourier.
La transformada de Fourier, traslaciones y dilataciones.
La transformada de Fourier y la derivación.
La transformada de Fourier de la función de Gauss.
El núcleo de calor.
La transformada de Fourier del núcleo de Poisson.
El lema de Riemann–Lebesgue.
Convolución sobre el eje real.
Teorema de convolución.
Núcleos aproximativos y sucesiones de Dirac sobre el eje real.
La clase de Schwartz y la transformada de Fourier.
Fórmula de inversión para la transformada de Fourier.
La identidad de Plancherel.
La transformada de Fourier y los desplazamientos.
Lista de problemas para examen. Tema: transformada de Fourier en ℝ.

Convolución (algunos temas no incluidos en el curso)

Convolución en el espacio L1(Rn).
Aplicación de la convolución a estadística: densidad de la suma de dos variables aleatorias absolutamente continuas.
Álgebras de Banach: definición y ejemplos.
Convolución de funciones pertenecientes a espacios Lp(Rn).
Sucesiones de Dirac.
Ejemplos de convoluciones.
Tareas del tema «Convolución».

Literatura (fuentes principales)

  1. W. Rudin. Real and Complex Analysis.
  2. H. L. Royden. Real Analysis. Macmillan.
  3. J. M. Rocha Martínez. Un primer curso de integración de Lebesgue en Rn.
  4. O. Biberstein. Teoría de la Integral. Notas de la E.S.F.M. del I.P.N.
  5. A. N. Kolmogorov y S. V. Fomin. Elementos de la Teoría de Funciones y del Análisis Funcional. Mir.
  6. Bernard R. Gelbaum and John M. H. Olmsted. Counterexamples In Analysis.


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