Análisis matemático III, otoño del año 2009
Licenciatura en Física y Matemáticas, ESFM del IPN

(Cuando escribía estos apuntes, no tenía mucho tiempo, además mis conocimientos de español eran aún peor que ahora.
Lo único bueno en estos apuntes es que llevan varias ideas de las Notas de O. Biberstein.)

Análisis matemático III. Introducción.

Convergencia uniforme (repaso)

Relación entre límites de sucesiones y límites de funciones en espacios métricos.
Convergencia puntual.
Norma-supremo (norma uniforme).
Desviación suprema entre dos funciones.
Convergencia uniforme.
Convergencia uniforme: propiedades de la función límite.

Funciones definidas por integrales
(Integrales dependientes de un parámetro)

Unos teoremas importantes de la teoría de la integral de Lebesgue (repaso).
Integrales dependientes de un parámetro. Continuidad de la función definida por una integral.
Derivación bajo el signo integral (regla de Leibniz).
Integrales impropias: convergencia absoluta.
Teoremas del valor medio para integrales de funciones monótonas.
Integrales impropias: criterios de Abel.
Convergencia uniforme de integrales impropias dependientes de un parámetro.
Integración de funciones definidas por integrales impropias.
Derivación de funciones definidas por integrales impropias.
Funciones Gamma y Beta (Γ y Β).
Tareas del tema «Funciones definidas por integrales»:
Cálculo de las integrales de Dirichlet, Fresnel y Poisson,
fórmula de los complementos para la función Gamma (fórmula de reflexión de Euler),
continuidad y derivadas parciales del potencial volúmico,
regla de Leibniz con límites variables.
Primer examen parcial.

Convolución

Convolución en el espacio L1(Rn).
Aplicación de la convolución a estadística: densidad de la suma de dos variables aleatorias absolutamente continuas.
Álgebras de Banach: definición y ejemplos.
Convolución de funciones pertenecientes a espacios Lp(Rn).
Funciones convexas. Desigualdad de Jensen.
Sucesiones de Dirac.
Ejemplos de convoluciones.
Tareas del tema «Convolución».
Segundo examen parcial.

Derivación e integración

Lema de Vitali.
Derivada de una función monótona.
Funciones de variación acotada.
Derivada de una integral.
Funciones absolutamente continuas.
Ejemplo sencillo de presentación escrita en LaTeX con Beamer y TikZ.
Exposiciones de los estudiantes.
Tercer examen parcial.

Literatura (fuentes principales)

  1. O. Biberstein. Teoría de la Integral. Notas de la E.S.F.M. del I.P.N.
  2. H. L. Royden. Real Analysis. Macmillan.
  3. A. N. Kolmogorov y S. V. Fomin. Elementos de la Teoría de Funciones y del Análisis Funcional. Mir.
  4. Bernard R. Gelbaum and John M. H. Olmsted. Counterexamples In Analysis.


www.reliablecounter.com
Click here
     craigslist view counter
Hit Web Counter