Álgebra III (Álgebra Lineal)
Licenciatura en física y matemáticas, ESFM del IPN

Por favor corrijan mi español y mis errores matemáticos.

El programa (temario) de la asignatura Álgebra III se divide en 6 partes:

  1. Producto interno, espacios euclideanos y unitarios.
  2. Permutaciones.
  3. Determinantes.
  4. Valores y vectores propios.
  5. Forma canónica de Jordan.
  6. Formas cuadráticas.
  7. Operadores lineales en espacios con producto interno.

Organización del curso y sistema de calificaciones.
Funcionales lineales y combinaciones lineales (repaso).
Funcionales bilineales y combinaciones lineales.

Agradezco por varios consejos e ideas a mis colegas de la ESFM, especialmente al profesor Eliseo Sarmiento Rosales.
Agradezco por muchas correcciones al estudiante Iván de Jesus Rodríguez Durán.

En problemas teóricos y tareas individuales de los temas Permutaciones y Determinantes usé los resultados del servicio social de Sadi Manuel Ramírez González. En problemas teóricos y tareas individuales de los temas Valores y vectores propios, Forma canónica de Jordan usé los resultados del servicio social de Gustavo Antonio Sandoval Ángeles.



Producto interno, espacios euclideanos y unitarios

Vamos a conocer espacios vectoriales reales y complejos de dimensión finita, provistos con productos internos.
Dado un producto interno, se pueden definir la norma y la distancia asociadas a este producto interno.
En espacios con producto interno es natural usar bases ortonormales
porque las coordenadas de un vector respecto a una base ortonormal
se expresan de manera muy simple a través del producto interno.
Para construir una base ortonormal en el subespacio generado por un conjunto de vectores,
se aplica el proceso de ortogonalización de Gram–Schmidt.
Espacios vectoriales reales con producto interno.
Espacios vectoriales complejos con producto interno.
Proyección ortogonal de un vector sobre otro.
Desigualdad de Schwarz.
Norma y distancia inducidas por un producto interno.
Listas ortogonales y ortonormales de vectores.
Proyección ortogonal de un vector sobre el subespacio generado por una lista ortogonal de vectores.
Matriz de Gram de una lista de vectores.
Proceso de ortogonalización de Gram–Schmidt.
Método matricial de ortogonalización.
Bases ortonormales.
Transformaciones lineales isométricas.
Representación de funcionales lineales en espacios euclidianos y unitarios (teorema de Riesz–Fréchet en el caso de dimensión finita).
Sumas directas (repaso).
Sumas ortogonales y complementos ortogonales.
Operaciones con el producto interno en GNU Octave. Tema optativo.
Agradezco a mi compañero profesor Erick Lee Guzmán por la idea de mostrar sistemas de álgebra computacional.
Tarea individual y problemas teóricos.
Tarea individual 1. Tema: Producto interno. Versión actual.
Problemas teóricos. Tema: Espacios con producto interno.
Problemas teóricos adicionales. Tema: Espacios con producto interno.


Permutaciones

Para estudiar determinantes necesitamos algunos conocimientos de permutaciones.
El estudio de las permutaciones ayudará también en la teoría de grupos (Álgebra Moderna I).
Las permutaciones de un conjunto fijo se pueden multiplicar y forman un grupo.
Las permutaciones más simples son ciclos y transposiciones.
La multiplicación de permutaciones no es conmutativa, pero cualesquiera dos ciclos disjuntos conmutan.
Cualquier permutación se puede factorizar en un producto de ciclos disjuntos (de manera única)
y también en un producto de transposiciones (de varias maneras).
El concepto de decremento hace el papel principal en la descomposición de permutaciones en transposiciones
y permite calcular el signo de una permutación de manera muy eficiente.
Permutaciones.
Producto de permutaciones (composición de permutaciones).
Grupo simétrico.
Descomposición de permutaciones en ciclos disjuntos.
Cambio de la estructura cíclica de una permutación al multiplicarla por una transposición.
Descomposición de una permutación en transposiciones.
Signo de una permutación.
Subgrupo alternante. Construcción de biyecciones entre permutaciones pares e impares.
Funciones antisimétricas.
 
Tarea individual y problemas teóricos.
Tarea individual 2. Tema: Permutaciones. Versión actual.
Compuse los ejercicios junto con Sadi Manuel Ramírez González.
Problemas teóricos para examen. Tema: Permutaciones.
Compuse los problemas con ayuda de Sadi Manuel Ramírez González.
Problemas teóricos adicionales. Tema: Permutaciones.

Determinantes


El determinante de una matriz cuadrada de orden n es un escalar que se puede calcular por ciertas reglas.
Del punto de visto geométrico, el determinante es el volumen orientado de un paralelepípedo n-dimensional.
Algebráicamente, es una forma n-lineal alternante de los renglones (o de las columnas) de la matriz.
Nosotros vamos a definir el determinante de manera explícita, como cierta suma de n! sumandos, donde cada sumando corresponde a una permutación.
Determinantes tienen muchas aplicaciones, por ejemplo: el criterio de la invertibilidad de una matriz,
el jacobiano que se usa para hacer un cambio de variables en una integral multidimensional.
Definición de determinante (presentación).
Determinante como una función n-lineal alternante (presentación).
Determinante y operaciones elementales.
Determinante del producto.
Determinante de una matriz triangular por bloques.
Menores y cofactores. Expansión del determinante por cofactores.
Cálculo de determinantes numéricos.
Cálculo de determinantes simbólicos.
Matriz adjunta clásica (matriz de cofactores transpuesta) de una matriz cuadrada.
Criterio de invertibilidad de una matriz cuadrada en términos de su determinante.
Regla de Cramer.
Determinante de Vandermonde y su aplicación a la interpolación polinomial.
Interpretación de los determinantes como área y volumen (tema adicional).
Rango y menores de una matriz (tema adicional).
Tarea individual y problemas teóricos.
Tarea individual 3. Tema: Determinantes. Versión actual.
Compuse los ejercicios junto con Sadi Manuel Ramírez González.
Problemas teóricos para examen. Tema: Determinantes.
Compuse los problemas con ayuda de Sadi Manuel Ramírez González.
Problemas teóricos adicionales. Tema: Determinantes.


Valores y vectores propios (elementos de la teoría espectral de operadores lineales)

Los valores y vectores propios de un operador lineal son sus características más importantes,
especialmente para operadores lineales diagonalizables.
Los valores y vectores propios tienen aplicaciones numerosas en matemáticas y en física.
Por ejemplo, estos sirven para calcular la exponencial de una matriz diagonalizable.
Valores propios y vectores propios de un operador lineal.
Polinomio caraterístico de un operador lineal.
Espectro de un operador lineal.
Multiplicidades algebraica y geométrica de un valor propio de un operador lineal.
Cálculo de valores y vectores propios (ejemplos).
Independencia lineal de subespacios propios asociados a diferentes valores propios.
Matrices polinomiales.
Teorema de Cayley–Hamilton.
Ideales del anillo de los polinomios.
Polinomios anuladores y el polinomio mínimo de un operador lineal.
Operadores lineales diagonalizables.
Función exponencial de una matriz.
Cálculo de la función exponencial de una matriz diagonalizable.
Teorema del mapeo del espectro (en el caso polinomial).
Tarea individual y problemas teóricos.
Tarea individual 4. Tema: Valores y vectores propios. Versión actual.
Compuse los ejercicios junto con Gustavo Antonio Sandoval Ángeles.
Problemas teóricos. Tema: Valores y vectores propios.
Problemas teóricos adicionales. Tema: Valores y vectores propios.


Forma canónica de Jordan

Un operador lineal tiene varias matrices asociadas con respecto a varias bases.
¿Cuál de las matrices asociadas es la más útil?.
La matriz diagonal, si el operador es diagonalizable.
La forma canónica de Jordan, en el caso general.
La FCJ es una herramienta teórica muy fuerte.
Además se aplica para calcular la exponencial de una matriz no diagonalizable.
Subespacios invariantes y descomposición primaria.
Matrices diagonales por bloques.
Operadores lineales nilpotentes.
Bloque de Jordan. Polinomio de un bloque de Jordan.
Matriz de Jordan. Forma canónica de Jordan.
Polinomio mínimo de una matriz de Jordan.
Imágenes de las potencias de un operador lineal.
Invariantes de un operador lineal. Unicidad de la forma canónica de Jordan.
Construcción de una base de Jordan para un operador lineal (ejemplos simples).
Cálculo de la función exponencial de una matriz a través de su forma canónica de Jordan.
Tarea individual y problemas teóricos.
Tarea individual 5. Tema: Forma canónica de Jordan. Versión actual.
Con la colaboración de Gustavo Antonio Sandoval Ángeles.
Problemas teóricos. Tema: Forma canónica de Jordan.
Problemas teóricos adicionales. Tema: Forma canónica de Jordan.


Segundo examen parcial. Temas: valores y vectores propios, forma canónica de Jordan.


Tercer examen parcial. Temas: forma canónica de Jordan, espacios vectoriales con producto interno.


Formas cuadráticas

Formas cuadráticas sirven para buscar máximos y mínimos de una función de varias variables.
Además formas cuadráticas están en una correspondencia biyectiva con operadores autoadjuntos.
Para toda forma cuadrática existe una base del espacio tal que la matriz asociada es diagonal.
Vamos a estudiar cómo diagonalizar una forma cuadrática y cómo determinar el signo de sus valores.
Formas bilineales.
Representación matricial de una forma bilineal.
Dos transformaciones lineales asociadas a una forma bilineal (tema optativo).
Formas cuadráticas y su relación con formas bilineales simétricas.
Representación matricial de una forma cuadrática. Cambio de base. Matrices congruentes.
Reducción de una forma cuadrática a su forma canónica (diagonalización de una forma cuadrática). Método de Lagrange.
Reducción de una forma cuadrática a su forma canónica. Método matricial.
Índices de inercia de una forma cuadrática.
Congruencia de matrices reales simétricas.
Signo de los valores de una forma cuadrática.
Criterios de Sylvester (no estudiamos este tema en este semestre).
Demostración del criterio de Sylvester de que una matriz es positiva definida (no estudiamos este tema en este semestre).
Matriz hessiana y algunas aplicaciones de formas cuadráticas en Cálculo diferencial de varias variables (tema optativo).
Tarea individual y problemas teóricos.
Tarea individual 6. Tema: Formas cuadráticas. Versión antigua.
Problemas teóricos. Tema: Formas cuadráticas.
Problemas teóricos para examen (lista reducida). Tema: Formas cuadráticas.
Problemas teóricos adicionales. Tema: Formas cuadráticas.


Operadores lineales en espacios con producto interno

En la práctica, muchos espacios vectoriales están provistos con productos internos.
Es natural estudiar como interactúan operadores lineales con un producto interno.
Vamos estudiar a estudiar propiedades básicas del operador adjunto,
conocer la clase de los operadores normales (que tienen matriz diagonal respecto una base ortonormal)
y sus subclases: operadores autoadjuntos y unitarios.
Operadores autoadjuntos son personajes principales de la mecánica cuántica.
Transformación adjunta. Operador adjunto.
Matriz adjunta (matriz transpuesta conjugada).
Complemento ortogonal de la imagen de un operador lineal.
Isometrías lineales.
Operadores unitarios y ortogonales.
Operadores autoadjuntos.
Triangulación de Schur (triangularización ortonormal) de un operador lineal en un espacio unitario.
Triangulación de Schur (descomposición de Schur) de una matriz compleja cuadrada.
Operadores normales.
Proyecciones ortogonales.
Operadores positivos.
Reducción ortogonal de una forma cuadrática. (No lo vamos a ver este tema en este curso.)
Tarea individual. Tema: Operadores lineales en espacios con producto interno.
(todavía no está escrita).
Problemas teóricos. Tema: Operadores lineales en espacios con producto interno.
Versión antigua.


Examen extraordinario y examen a título de suficiencia

Guía del Examen a Título de Suficiencia.

Literatura principal

  1. S. Lipschutz, S.; Lipson, M.: Schaum's outline of theory and problems of linear algebra. Third edition. McGraw–Hill, 2001.
    Preview (Google Books)
  2. Friedberg, S. H.; Insel, A. J.; L. E. Spence, L. E.: Álgebra lineal. Cuarta edición. Pearson Education, 2003.
  3. Meyer, C. D.: Matrix Analysis and Applied Linear Algebra.
    Online version: http://matrixanalysis.com/DownloadChapters.html.
  4. Hoffman, K.; Kunze, R.: Linear algebra. Second edition. Prentice-Hall, Englewood Cliffs, New Jersey, 1971.

Literatura adicional

  1. Moore, J. T.: Elements of Linear Algebra and Matrix Theory. McGraw-Hill (New York), 1968.
  2. Axler, S.: Linear Algebra Done Right. Second Edition. Springer, 2004.
  3. Gel'fand, I. M.: Lectures on Linear Algebra. Interscience (New York), 1961.
  4. Paige, L. J.; Dean Swift, J.; Slobko, T. A.: Elementos de Álgebra lineal. Segunda edición. 1982.
    Preview (Google books)
  5. Anton, H.: Álgebra lineal. Cuarta edición. Limusa, 2009.



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