Álgebra III (Álgebra Lineal)
Licenciatura en física y matemáticas, ESFM del IPN

Por favor corrijan mi español.

El programa (temario) de la asignatura Álgebra III se divide en 6 partes:

  1. Determinantes.
  2. Formas cuadráticas.
  3. Valores y vectores propios.
  4. Forma canónica de Jordan.
  5. Producto interno, espacios euclideanos y unitarios.
  6. Operadores lineales en espacios con producto interno.

En problemas teóricos y tareas individuales de los temas Permutaciones y Determinantes usé los resultados del servicio social de Sadi Manuel Ramírez González. En problemas teóricos y tareas individuales de los temas Valores y vectores propios, Forma canónica de Jordan usé los resultados del servicio social de Gustavo Antonio Sandoval Ángeles.

Determinantes

En el semestre pasado perdimos 7 clases o más, por eso ahora tenemos que empezar con Permutaciones y Determinantes.

Para estudiar determinantes necesitamos algunos conocimientos de permutaciones.
El estudio de las permutaciones ayudará también en la teoría de grupos (Álgebra Moderna I).
El concepto de decremento de una permutación se menciona en la Encyclopedia of Mathematics.
apuntes ejercicios Permutaciones.
apuntes ejercicios Producto de permutaciones (composición de permutaciones).
apuntes   Grupo simétrico.
apuntes   Descomposición de permutaciones en ciclos disjuntos.
apuntes   Cambio de la estructura cíclica de una permutación al multiplicarla por una transposición.
apuntes   Descomposición de una permutación en transposiciones.
apuntes   Signo de una permutación.
apuntes   Subgrupo alternante. Construcción de biyecciones entre permutaciones pares e impares.
apuntes   Funciones antisimétricas.
 
tarea Tarea individual 1. Tema: Permutaciones.
Compuse los ejercicios junto con Sadi Manuel Ramírez González.
Fecha límite para entregar: 12 de febrero.
problemas Problemas teóricos para examen. Tema: Permutaciones.
Compuse los problemas con ayuda de Sadi Manuel Ramírez González.
problemas adicionales Problemas teóricos adicionales. Tema: Permutaciones.

El determinante de una matriz cuadrada de orden n es un escalar que se puede calcular por ciertas reglas.
Del punto de visto geométrico, el determinante es el volumen orientado de un paralelepípedo n-dimensional.
Algebráicamente, es una forma n-lineal alternante de los renglones (o de las columnas) de la matriz.
Nosotros vamos a definir el determinante de manera explícita, como cierta suma de n! sumandos, donde cada sumando corresponde a una permutación.
Determinantes tienen muchas aplicaciones, por ejemplo: el criterio de la invertibilidad de una matriz,
el jacobiano que se usa para hacer un cambio de variables en una integral multidimensional.
apuntes   Definición de determinante (presentación).
apuntes   Determinante como una función n-lineal alternante (presentación).
apuntes   Determinante y operaciones elementales.
apuntes   Determinante del producto.
apuntes   Determinante de una matriz triangular por bloques.
apuntes   Menores y cofactores. Expansión del determinante por cofactores.
apuntes   Cálculo de determinantes numéricos.
apuntes   Cálculo de determinantes simbólicos.
apuntes   Matriz adjunta clásica (matriz de cofactores transpuesta) de una matriz cuadrada.
apuntes   Criterio de invertibilidad de una matriz cuadrada en términos de su determinante.
apuntes   Regla de Cramer.
apuntes   Determinante de Vandermonde y su aplicación a la interpolación polinomial.
apuntes   Interpretación de los determinantes como área y volumen (tema adicional).
apuntes   Rango y menores de una matriz (tema adicional).
tarea Tarea individual 2. Tema: Determinantes. Versión actual.
Compuse los ejercicios junto con Sadi Manuel Ramírez González.
Fecha límite de entrega: 28 de febrero.
problemas Problemas teóricos para examen. Tema: Determinantes.
Compuse los problemas con ayuda de Sadi Manuel Ramírez González.
problemas adicionales Problemas teóricos adicionales. Tema: Determinantes.


Formas cuadráticas

Formas cuadráticas sirven para buscar máximos y mínimos de una función de varias variables.
Además formas cuadráticas están en una correspondencia biyectiva con operadores autoadjuntos.
Para toda forma cuadrática existe una base del espacio tal que la matriz asociada es diagonal.
Vamos a estudiar cómo diagonalizar una forma cuadrática y cómo determinar el signo de sus valores.
apuntes Formas bilineales.
apuntes Representación matricial de una forma bilineal.
apuntes Dos transformaciones lineales asociadas a una forma bilineal (tema optativo).
apuntes Formas cuadráticas y su relación con formas bilineales simétricas.
apuntes Representación matricial de una forma cuadrática. Cambio de base. Matrices congruentes.
apuntes Reducción de una forma cuadrática a su forma canónica (diagonalización de una forma cuadrática). Método de Lagrange.
apuntes Reducción de una forma cuadrática a su forma canónica. Método matricial.
apuntes Índices de inercia de una forma cuadrática.
apuntes Congruencia de matrices reales simétricas.
apuntes Signo de los valores de una forma cuadrática.
apuntes Criterios de Sylvester (no estudiamos este tema en este semestre).
apuntes Demostración del criterio de Sylvester de que una matriz es positiva definida (no estudiamos este tema en este semestre).
apuntes Matriz hessiana y algunas aplicaciones de formas cuadráticas en Cálculo diferencial de varias variables (tema optativo).
tarea Tarea individual 3. Tema: Formas cuadráticas. Versión actual.
problemas Problemas teóricos. Tema: Formas cuadráticas.
problemas Problemas teóricos para examen (lista reducida). Tema: Formas cuadráticas.
problemas adicionales Problemas teóricos adicionales. Tema: Formas cuadráticas.


examen Primer examen parcial.
Temas: determinantes, formas cuadráticas.


Valores y vectores propios (elementos de la teoría espectral de operadores lineales)

Los valores y vectores propios de un operador lineal son sus características más importantes,
especialmente para operadores lineales diagonalizables.
Los valores y vectores propios tienen aplicaciones numerosas en matemáticas y en física.
Por ejemplo, estos sirven para calcular la exponencial de una matriz diagonalizable.
apuntes Valores propios y vectores propios de un operador lineal.
apuntes Polinomio caraterístico de un operador lineal.
apuntes Espectro de un operador lineal.
apuntes Multiplicidades algebraica y geométrica de un valor propio de un operador lineal.
apuntes Cálculo de valores y vectores propios (ejemplos).
apuntes Independencia lineal de subespacios propios asociados a diferentes valores propios.
apuntes Teorema de Cayley–Hamilton.
apuntes Ideales del anillo de los polinomios.
apuntes Polinomios anuladores y el polinomio mínimo de un operador lineal.
apuntes Operadores lineales diagonalizables.
apuntes Función exponencial de una matriz.
apuntes Cálculo de la función exponencial de una matriz diagonalizable.
apuntes Teorema del mapeo del espectro (en el caso polinomial).
tarea Tarea individual 4. Tema: Valores y vectores propios. Versión actual.
Compuse los ejercicios junto con Gustavo Antonio Sandoval Ángeles.
problemas Problemas teóricos. Tema: Valores y vectores propios.
problemas adicionales Problemas teóricos adicionales. Tema: Valores y vectores propios.


Forma canónica de Jordan

Un operador lineal tiene varias matrices asociadas con respecto a varias bases.
¿Cuál de las matrices asociadas es la más útil?.
La matriz diagonal, si el operador es diagonalizable.
La forma canónica de Jordan, en el caso general.
La FCJ es una herramienta teórica muy fuerte.
Además se aplica para calcular la exponencial de una matriz no diagonalizable.
apuntes Subespacios invariantes y descomposición primaria.
apuntes Matrices diagonales por bloques.
apuntes Operadores lineales nilpotentes.
apuntes Bloque de Jordan. Polinomio de un bloque de Jordan.
apuntes Matriz de Jordan. Forma canónica de Jordan.
apuntes Polinomio mínimo de una matriz de Jordan.
apuntes Imágenes de las potencias de un operador lineal.
apuntes Invariantes de un operador lineal. Unicidad de la forma canónica de Jordan.
  Construcción de una base de Jordan para un operador lineal (ejemplos simples).
apuntes Cálculo de la función exponencial de una matriz a través de su forma canónica de Jordan.
tarea Tarea individual 5. Tema: Forma canónica de Jordan. Versión actual.
Con la colaboración de Gustavo Antonio Sandoval Ángeles.
problemas Problemas teóricos. Tema: Forma canónica de Jordan.
problemas adicionales Problemas teóricos adicionales. Tema: Forma canónica de Jordan.


examen Segundo examen parcial. Temas: valores y vectores propios, forma canónica de Jordan.


Producto interno, espacios euclideanos y unitarios

Vamos a conocer espacios vectoriales reales y complejos de dimensión finita, provistos con productos internos.
Dado un producto interno, se pueden definir la norma y la distancia asociadas a este producto interno.
En espacios con producto interno es natural usar bases ortonormales,
porque las coordenadas de un vector con respecto a una base ortonormal
se expresan de manera muy simple a través del producto interno.
Para construir una base ortonormal en el subespacio generado por un conjunto de vectores,
se aplica el proceso de ortogonalización de Gram–Schmidt.
apuntes Espacios vectoriales reales y complejos con producto interno.
apuntes Ejemplos de espacios con producto interno.
apuntes Proyección ortogonal de un vector sobre otro.
apuntes Desigualdad de Schwarz.
apuntes Norma y distancia inducidas por un producto interno.
apuntes Listas ortogonales y ortonormales de vectores.
apuntes Proyección ortogonal de un vector sobre el subespacio generado por una lista ortogonal de vectores.
apuntes Matriz de Gram de una lista de vectores.
apuntes Proceso de ortogonalización de Gram–Schmidt.
apuntes Método matricial de ortogonalización.
apuntes Bases ortonormales.
apuntes Transformaciones lineales isométricas.
apuntes Representación de funcionales lineales en espacios euclidianos y unitarios (teorema de Riesz–Fréchet en el caso de dimensión finita).
apuntes Sumas directas (tema auxiliar).
apuntes Sumas ortogonales y complementos ortogonales.
tarea Tarea individual 6. Tema: Producto interno. Versión actual. Última fecha para entregar: 27 de mayo.
problemas Problemas teóricos. Tema: Espacios con producto interno.
problemas adicionales Problemas teóricos adicionales. Tema: Espacios con producto interno.


examen Tercer examen parcial. Temas: forma canónica de Jordan, espacios vectoriales con producto interno.


Operadores lineales en espacios con producto interno

En la práctica, muchos espacios vectoriales están provistos con productos internos.
Es natural estudiar como interactúan operadores lineales con un producto interno.
Vamos estudiar a estudiar propiedades básicas del operador adjunto,
conocer la clase de los operadores normales (que tienen matriz diagonal respecto una base ortonormal)
y sus subclases: operadores autoadjuntos y unitarios.
Operadores autoadjuntos son personajes principales de la mecánica cuántica.
apuntes Transformación adjunta. Operador adjunto.
apuntes Matriz adjunta (matriz transpuesta conjugada).
apuntes Complemento ortogonal de la imagen de un operador lineal.
apuntes Isometrías lineales.
apuntes Operadores unitarios y ortogonales.
apuntes Operadores autoadjuntos.
apuntes Triangulación de Schur (triangularización ortonormal) de un operador lineal en un espacio unitario.
Triangulación de Schur (descomposición de Schur) de una matriz compleja cuadrada.
apuntes Operadores normales.
apuntes Proyecciones ortogonales.
apuntes Operadores positivos.
  Reducción ortogonal de una forma cuadrática. (No lo vamos a ver este tema en este curso.)
  Tarea individual. Tema: Operadores lineales en espacios con producto interno.
(todavía no está escrita).
problemas Problemas teóricos. Tema: Operadores lineales en espacios con producto interno.
Versión antigua.


Examen extraordinario y examen a título de suficiencia

pdf Guía del Examen a Título de Suficiencia.

Literatura principal

  1. S. Lipschutz and M. Lipson, Schaum's outline of theory and problems of linear algebra. Third edition. McGraw-Hill, 2001.
    Preview (Google Books)
  2. S. H. Friedberg, A. J. Insel, and L. E. Spence, Álgebra lineal. Cuarta edición.
  3. Carl D. Meyer, Matrix Analysis and Applied Linear Algebra.
    Online version: http://matrixanalysis.com/DownloadChapters.html.
  4. K. Hoffman and R. Kunze, Linear algebra. Second edition. Prentice-Hall, Englewood Cliffs, New Jersey, 1971.

Literatura adicional

  1. John T. Moore, Elements of Linear Algebra and Matrix Theory. McGraw-Hill (New York), 1968.
  2. I. M. Gel'fand, Lectures on Linear Algebra. Interscience (New York), 1961.
  3. Lowell J. Paige, J. Dean Swift, Thomas A. Slobko, Elementos de Álgebra lineal. Segunda edición. 1982. 399 páginas.
    Preview (Google books)
  4. H. Anton, Álgebra lineal. Cuarta edición. Limusa, 2009. 728 p. il.



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