Análisis Matemático III
Licenciatura en Física y Matemáticas, ESFM del IPN

El curso Análisis Matemático III abarca algunas partes de Análisis Real que no caben en Análisis Matemático II. Seguimos estudiando propiedades de medidas abstractas y propiedades de la integral de Lebesgue.

El programa (temario) de la asignatura Análisis Matemático III se divide en las siguientes partes.

  1. Conjuntos convexos y funciones convexas.
  2. Espacios Lp.
  3. Integración sobre productos de espacios de medida.
  4. Derivación e integración.
  5. Integrales impropias de Lebesgue.
  6. Integrales dependientes de parámetros.
  7. Transformada de Fourier.
  8. Convolución.

Programa del curso.

Conjuntos convexos y funciones convexas

present apuntes Combinaciones convexas en espacios vectoriales (repaso).
  apuntes La envoltura convexa del subconjunto de un espacio vectorial (repaso).
  apuntes Conjuntos convexos (repaso).
  apuntes Funciones monótonas (repaso).
  apuntes Funciones convexas (repaso).
present apuntes Funciones convexas de una variable real. Criterio de convexidad en términos de las diferencias divididas.
present apuntes Funciones convexas en intervalos y derivadas laterales.
present apuntes Funciones convexas de una variable real y derivadas.
  apuntes Rectas básicas para la gráfica de una función convexa.
  apuntes Desigualdad de Jensen.
present apuntes Desigualdad de Young (convexidad de la función exponencial).
tarea Tarea simple del tema «Conjuntos convexos y funciones convexas».
problemas Problemas para examen. Tema: Conjuntos convexos y funciones convexas.
  Tarea adicional. Teorema de Krein–Milman y su versión para espacios de dimensión finita.
  Tarea adicional. Cada conjunto convexo cerrado en Rn es una intersección de semiplanos.
  Tarea adicional. La transformada de Legendre de funciones convexas y sus propiedades básicas.
  Tarea adicional. El algoritmo de Gilbert–Johnson–Keerthi para calcular la distancia mínima entre dos poliedros.

Espacios L^p

present apuntes Desigualdad de Hölder.
present apuntes Desigualdad de Minkowski.
apuntes Los espacios Lp.
present apuntes El supremo esencial de las funciones positivas.
present   La seminorma extendida N∞.
    Los espacios L∞.
apuntes Completez de espacios métricos (repaso).
apuntes Completez de espacios normados.
present apuntes Los espacios normados L∞ son completos.
present apuntes Los espacios normados Lp son completos.
apuntes Densidad de funciones simples en Lp.
  Densidad de funciones escalonadas en Lp(ℝ).
  Tema adicional. Densidad de funciones escalonadas en Lp([a,b]). Lema de Riemann–Lebesgue sobre los coeficientes de Fourier de funciones integrables.
apuntes Aproximación por funciones continuas.
problemas Problemas para examen. Tema: Espacios Lp.

Integración sobre productos de espacios de medida

apuntes Productos cartesianos de conjuntos.
apuntes Clases monótonas de conjuntos.
apuntes Medibilidad sobre productos.
apuntes Productos de medidas.
apuntes Teorema de Tonelli.
apuntes Teorema de Fubini.
apuntes Un ejemplo que muestra la importancia de la integrabilidad absoluta en el teorema de Fubini.
problemas Problemas para examen. Tema: Integración sobre productos de espacios de medida.

Derivación e integración

TeX   Archivos LaTeX y Sagemath de mis presentaciones.
apuntes present Límites de funciones monótonas (repaso).
  present Estructura de discontinuidades de una función monótona.
apuntes present Límites superiores e inferiores de funciones.
apuntes present Derivadas de Dini.
apuntes   Lema de Vitali sobre cubiertas.
apuntes present Derivada de una función monótona.
apuntes present Variación total de una función.
    Variación total en un intervalo dividido en varias partes.
    Funciones de variación acotada.
apuntes present Continuidad de la integral de Lebesgue respecto al conjunto de integración.
apuntes present Funciones absolutamente continuas.
  present La integral con límite superior variable es una función absolutamente continua.
apuntes present Derivada de una integral (el primer teorema de cálculo para funciones Lebesgue integrables).
apuntes present Integral de la derivada (el segundo teorema de cálculo para funciones absolutamente continuas).
  present Integración por partes para las funciones absolutamente continuas.
problemas Problemas para examen. Tema: derivación e integración.

Algunas tareas resueltas por estudiantes

apuntes Enrique Abdeel Muñoz de la Colina, Elisa Suárez Barraza. Igualdad en las desigualdades de Young y Hölder.
present Juan Carlos Jiménez Cervantes. El producto de dos sigma-álgebras de Borel.
apuntes Iván Antonio Avilés Audelo, Germán Jordi Arreortua Reyes. Desigualdad de Hardy. Demostración basada en un cambio de variable, la desigualdad de Hölder y teorema de Tonelli (o Fubini).
apuntes Elitania Guzmán Hernández, Jessica Azuceti Moreno Zacarias. Un ejemplo que muestra la importancia de la integrabilidad absoluta en el teorema de Fubini.
present Luis Alberto de la O Moya. La fórmula de complementos para la función Γ.
apuntes Paolo Alejandro Balam Aguilar Mata, Rocio Daniela Pérez Cruz. Teorema de la convergencia de Vitali para sucesiones uniformemente integrables.
apuntes Dante Arroyo Sánchez, Sofía Cano Flores. El rango esencial.
apuntes Sofía Cano Flores. Un lema sobre intervalos.

Integrales impropias

En esta parte he utilizado mucho los apuntes de Biberstein. Repasemos algunas herramientas auxiliares.

apuntes present Criterio de existencia de límites de funciones en términos de sucesiones (criterio de Heine).
  present Criterio de Cauchy para la existencia del límite de una función.
  present El límite de una función monótona en términos del límite de una sucesión.
  Hemos repasado algunos temas auxiliares. Empezamos estudiar los temas de esta unidad.
apuntes present Integrales impropias de Lebesgue.
  present Integrales impropias de Lebesgue de funciones positivas.
  present Comparación de la función potencia con las funciones exponencial y logarítmica (repaso).
apuntes present Teoremas del valor medio para integrales de productos de funciones monótonas por funciones complejas.
apuntes   Criterios de Abel y Dirichlet para la convergencia de integrales impropias.

Funciones definidas por integrales. Integrales dependientes de un parámetro

En esta parte he utilizado mucho los apuntes de Biberstein.

zip Códigos LaTeX de algunas de mis presentaciones.
apuntes   Algunos teoremas importantes de la teoría de la integral de Lebesgue (repaso).
apuntes present Integrales dependientes de un parámetro. Continuidad de la función definida por una integral.
apuntes present La función Gamma de Euler: la definición, la continuidad y la fórmula recursiva.
apuntes present Derivación bajo el signo integral (regla de Leibniz).
  present Transformada de Abel para las sumas de productos.
  present El teorema sobre el cambio de variable, sin demostración.
apuntes   La función Beta de Euler (Β) y su expresión en términos de Gamma.
  present La fórmula de complementos para la función Γ.
  present Ejemplos de cálculo de integrales con las funciones Γ y Β.
  Ya no veremos en el curso los siguientes tres temas.
apuntes   Convergencia uniforme de integrales impropias dependientes de un parámetro.
apuntes   Integración de funciones definidas por integrales impropias.
apuntes   Derivación de funciones definidas por integrales impropias.
problemas   Problemas del tema «Funciones definidas por integrales»:
cálculo de las integrales de Dirichlet, Fresnel y Poisson,
fórmula de los complementos para la función Gamma (fórmula de reflexión de Euler),
continuidad y derivadas parciales del potencial volúmico,
regla de Leibniz con límites variables.
  present Ideas de soluciones de algunos ejercicios.
examen   Segundo examen parcial.
tarea Segunda tarea de Análisis Matemático III.

Transformada de Fourier

apuntes Motivación de la transformada de Fourier.
apuntes Caracteres del grupo ℝ (tema optativo).
apuntes Transformada de Fourier de funciones integrables sobre la recta real.
apuntes Aproximación de la transformada de Fourier sobre números reales por la transformada finita de Fourier.
apuntes Programación: aproximación de la transformada de Fourier sobre la recta real por la transformada finita de Fourier.
apuntes La transformada de Fourier, traslaciones y dilataciones.
apuntes La transformada de Fourier y la derivación.
apuntes La transformada de Fourier de la función de Gauss.
apuntes El núcleo de calor.
apuntes La transformada de Fourier del núcleo de Poisson.
apuntes El lema de Riemann–Lebesgue.
  Convolución sobre el eje real.
  Teorema de convolución.
apuntes Núcleos aproximativos y sucesiones de Dirac sobre el eje real.
apuntes La clase de Schwartz y la transformada de Fourier.
apuntes Fórmula de inversión para la transformada de Fourier.
  La identidad de Plancherel.
  La transformada de Fourier y los desplazamientos.
problemas Lista de problemas para examen. Tema: transformada de Fourier en ℝ.

Convolución (algunos temas no incluidos en el curso)

apuntes Convolución en el espacio L1(Rn).
apuntes Aplicación de la convolución a estadística: densidad de la suma de dos variables aleatorias absolutamente continuas.
apuntes Álgebras de Banach: definición y ejemplos.
apuntes Convolución de funciones pertenecientes a espacios Lp(Rn).
apuntes Sucesiones de Dirac.
apuntes Ejemplos de convoluciones.
apuntes Tareas del tema «Convolución».

Literatura (fuentes principales)

  1. G. B. Folland. Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications. Second edition. Wiley, 1999.
  2. W. Rudin. Real and Complex Analysis. Third edition. McGraw-Hill, 1987.
  3. S. Lang. Real Analysis. Second edition. Addison Wesley, 1983.
  4. H. L. Royden, P. M. Fitzpatrick. Real Analysis. Fourth edition. Pearson, 2010.
  5. J. M. Rocha Martínez. Un primer curso de integración de Lebesgue en Rn. Instituto Politécnico Nacional, 2013.
  6. M. A. Pinsky. Introduction to Fourier Analysis and Wavelets. AMS, 2002.
  7. P. R. Halmos. Measure Theory. Springer, 1974.
  8. O. Biberstein. Teoría de la Integral. Notas de la E.S.F.M. del I.P.N. Instituto Politécnico Nacional, 1976.
  9. A. N. Kolmogorov y S. V. Fomin. Elementos de la Teoría de Funciones y del Análisis Funcional. Mir, 1972.
  10. B. R. Gelbaum and J. M. H. Olmsted. Counterexamples in Analysis. Dover, 2003.


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