Análisis Real
Maestría en Ciencias Fisicomatemáticas, ESFM del IPN

La página está en construcción. Por favor, corrijan mis errores. Agradezco a las siguientes personas por varias correcciones: Andrea Alejandra Rendón Peña, Pedro Marín Ramírez.

El programa (temario) de la asignatura Análisis Real se divide en las siguientes partes:

  1. Temas preliminares.
  2. Medida abstracta.
  3. Modos de convergencia de sucesiones de funciones.
  4. Integración abstracta.
  5. Extensión de medidas.
  6. Espacios Lp.
  7. Integración sobre productos de espacios.

Objectivo. Estudiar o repasar la construcción de la integral de Lebesgue y demostrar sus propiedades principales.

Aplicaciones. Análisis Real puede servir como una base para estudiar Análisis Funcional y Probabilidad.

Prerrequisitos. Antes de inscribirse a esta asignatura, es necesario repasar todos los temas marcados con la palabra “repaso”, incluso cotas superiores e inferiores, supremos e ínfimos, conjuntos y familias de conjuntos, imágenes y preimágenes de conjuntos bajo funciones, topología inducida por una métrica, conceptos básicos de topología general. Se supone que el estudiante ha cursado varios cursos avanzados de análisis y tiene mucha experiencia de demostrar desigualdades, resolver desigualdades y trabajar con la definición del límite.

Aprender TeX. Cualquier estudiante de posgrado en matemáticas debe escribir muchos textos en el lenguaje TeX (LaTeX). Voy a dar pequeñas tareas individuales (20% de la calificación) y exigir que escriban sus soluciones con el lenguaje TeX.

pdf tex Un ejemplo simple de archivo TeX. Demostración de la fórmula para A \ (B \ C).
pdf tex Un ejemplo más avanzado. Otras dos demostraciones de la fórmula para A \ (B \ C).

Temas preliminares

  Vamos a repasar rápidamente algunos conceptos preliminares que se usan con frecuencia en Análisis Real. Algunos de estos temas se explican con más detalles en otra sección de mi página.
ejercicios Varios ejercicios juntos, con espacios para llenar.
ejercicios Negación, conjunción y disyunción.
ejercicios Cuantificadores sobre conjuntos finitos.
ejercicios Operaciones con conjuntos.
ejercicios Imágenes y preimágenes con respecto a funciones que actúan sobre conjuntos finitos.
ejercicios Propiedades de imágenes y preimágenes.
ejercicios Propiedades de imágenes y preimágenes para familias de conjuntos.
apuntes Operaciones con conjuntos (repaso).
apuntes Operaciones con familias de conjuntos (repaso).
apuntes Operaciones con familias monótonas de conjuntos.
apuntes Estructura de sucesiones crecientes de conjuntos.
apuntes Estructura de sucesiones decrecientes de conjuntos.
apuntes Función indicadora (repaso).
apuntes Imágenes y preimágenes (repaso).
apuntes Espacios métricos, definición y ejemplos (repaso).
apuntes Bolas en espacios métricos (repaso).
apuntes Topología inducida por una distancia (repaso).
apuntes Nociones básicas de topología general (repaso).
apuntes Eje real extendido.
apuntes Cotas superiores e inferiores.
apuntes Supremo e ínfimo de un conjunto.
apuntes Supremo, ínfimo y desigualdades.
apuntes Supremo, ínfimo y operaciones aritméticas.
apuntes Topología del eje real. Estructura de conjuntos abiertos de números reales.
apuntes Límite superior y límite inferior de una sucesión.
apuntes Propiedades aritméticas de límites superiores e inferiores de sucesiones de números reales.
 
tarea Tarea individual de temas preliminares. Versión actual.
zip Ejemplo de solución de tarea.
problemas Problemas para examen. Temas preliminares.
tarea Tarea adicional. Distancia en el eje real extendido.


Medida abstracta y funciones medibles

apuntes Sigma-álgebras.
  La sigma-álgebra restringida.
apuntes La sigma-álgebra generada por un conjunto de conjuntos.
apuntes Ejemplos de álgebras finitas de conjuntos.
apuntes Medidas.
apuntes
apuntes Funciones medibles.
apuntes Todo conjunto abierto en el plano se puede representar como una unión numerable de rectángulos abiertos.
apuntes Funciones medibles reales y complejas.
apuntes Funciones simples.
present Aproximación de la función identidad por funciones simples. Presentación.
apuntes Aproximación de funciones positivas medibles por funciones simples positivas medibles.
 
problemas Problemas para examen. Tema: medida abstracta.
problemas Tarea adicional. Sigma-álgebras finitas o numerables.
problemas Tarea adicional. Programación: álgebras de subconjuntos sobre un conjunto finito.
problemas Tarea adicional. El rango esencial de una función medible.


Modos de convergencia de sucesiones de funciones

apuntes Modos de convergencia: uniforme, puntual, casi en todas partes, en medida, casi uniforme.
apuntes Descripción de varios modos de convergencia en términos de ciertos conjuntos auxiliares.
present Convergencia casi uniforme. Presentación.
present Convergencia en medida. Presentación.
apuntes Ejemplos de análisis de varios modos de convergencia.
apuntes Relaciones entre varios modos de convergencia.
 
tarea Tarea. Tema: varios modos de convergencia de sucesiones de funciones. Versión antigua.
problemas Problemas para examen. Tema: modos de convergencia de sucesiones de funciones.
examen Examen sobre sigma-álgebras, medidas, funciones medibles y varios modos de convergencia. Versión antigua.


Integración abstracta

present   Plan de la unidad (Integral de Lebesgue).
apuntes   Integración de funciones simples medibles positivas.
apuntes   Integración de funciones positivas medibles.
apuntes   Desigualdades de Markov y Chebyshov.
  present Algunas demostraciones falsas del teorema de la convergencia monótona.
apuntes present Teorema de la convergencia monótona.
apuntes present Lema de Fatou.
apuntes   Integral de la suma finita o numerable de funciones medibles positivas.
apuntes   Medida definida como la integral de Lebesgue de una función medible positiva con conjunto de integración variable.
apuntes   Integración de funciones reales.
apuntes   Integración de funciones complejas.
apuntes   Teorema de Lebesgue de convergencia dominada.
apuntes   Funciones iguales casi en todas partes.
apuntes   Integrales de series y conjuntos de medida cero.
apuntes present Continuidad de la integral de Lebesgue respecto al conjunto de integración.
 
tarea   Tarea. Tema: Integral de Lebesgue. Versión antigua.
problemas   Problemas para examen. Tema: integración abstracta.
problemas   Tarea adicional. Familias uniformemente integrables y teorema de convergencia de Vitali.
    Tarea adicional. Construcción de la integral de Bochner.


Extensión de medidas

apuntes Semianillos de conjuntos.
apuntes Anillos de conjuntos.
apuntes Premedidas. Extensión de una premedida de un semianillo al anillo generado.
apuntes Clases monótonas de conjuntos.
apuntes Medidas exteriores.
apuntes Extensión de Carathéodory.
apuntes Completación de una medida.
apuntes Construcción de la medida de Lebesgue por medio del teorema de Carathéodory.
  Teorema de Luzin.
 
problemas Problemas para examen. Tema: Extensión de medidas.
problemas Tarea adicional. Pseudométrica entre conjuntos generada por una medida exterior.


Integración sobre productos de espacios

apuntes Medibilidad sobre productos.
apuntes Productos de medidas.
apuntes Teoremas de Tonelli y Fubini.
  Completación de productos de medidas.
  Convolución en Rn.
 
problemas Problemas para examen. Tema: Integración sobre productos de espacios.


Espacios Lp

apuntes Conjuntos convexos (repaso).
apuntes Funciones monótonas (repaso).
apuntes Funciones convexas (repaso).
apuntes Funciones convexas de una variable real.
apuntes Desigualdad de Jensen.
present apuntes Desigualdad de Young.
apuntes Desigualdades de Young, Hölder y Minkowski.
apuntes Supremo esencial de funciones positivas.
  Espacios Lp.
apuntes Completez de espacios métricos y normados (repaso).
apuntes Completez de los espacios Lp.
  Aproximación por funciones continuas.
 
problemas Problemas para examen. Tema: Espacios Lp.






Los siguientes temas no se incluyen en este curso.



Medidas positivas de Borel

pdf Espacios topológicos localmente compactos.
pdf Particiones de unidad.
pdf Teorema de representación de Riesz. Unicidad. Idea de la demostración de la existencia.
  Teorema de representación de Riesz. Demostración de la existencia.
  Propiedades de regularidad de medidas de Borel.
  Medida de Lebesgue.
  Propiedades de continuidad de funciones medibles (teorema de Lusin).
 
pdf Problemas para examen. Tema: Medidas positivas de Borel.


Medidas complejas

  Variación total de una medida compleja.
  Continuidad absoluta de una medida con respecto a otra.
  Teorema de Radon-Nikodym y teorema de la descomposición de Lebesgue.
  Representación de funcionales lineales acotados sobre Lp.
  Teorema de representación de Riesz de los funcionales lineales acotados sobre Cc(X).
 
pdf Problemas para examen. Tema: medidas complejas.
La lista no está completa todavía.


Derivación

  Derivadas de medidas.
  Teorema fundamental del cálculo.
  Transformaciones derivables.
 
  Problemas. Tema: Derivación.




  Examen extraordinario.


Literatura

Muchas definiciones y demostraciones siguen el libro de Rudin:

  1. W. Rudin, Real and complex analysis.
    McGrow–Hill, 1987.

El estilo del libro de Rudin es demasiado breve, por eso se recomienda completarlo con algún otro libro, por ejemplo:

  1. P. R. Halmos, Measure theory.
    New York, 1950.
  2. H. L. Royden, Real analysis.
    Prentice Hall, 2010.
  3. V. I. Bogachev, Measure theory.
    Springer, 2007. ISBN-13: 978-3-540-34513-8.


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