Elementos de Análisis Armónico

Programa del curso para Maestría en Ciencias Fisicomatemáticas.
En el semestre de otoño de 2017 el curso tuvo el siguiente título oficial: Temas Selectos de Análisis Funcional y Real.

El curso incluye el estudio de resultados teóricos (es la mayor parte del curso), un poco de programación y un poco de aplicaciones, en forma optativa.

Para entender la parte teórica, un prerrequisito natural es un curso de Análisis Real en maestría o los cursos de Análisis I y II en la Licenciatura en Física y Matemáticas.

Para implementar algunos algoritmos que vamos a estudiar y programar, es necesario tener experiencia de programación con funciones, arreglos y ciclos. Se recomiendan Matlab/Octave o SageMath o Python+numpy o Julia.

Estoy lejos de aplicaciones y no podré enseñarlas, pero los estudiantes pueden proponer sus propios proyectos adicionales dedicados a aplicaciones.

Contenido:


Introducción

Conocemos los conceptos generales de grupos conmutativos localmente compactos, la medida de Haar, traslaciones, caracteres, el grupo dual, la transformada de Fourier y la convolución. No demostramos teoremas fuertes en este contexto general, pero es importante reconocer los conceptos generales en el caso de grupos concretos.

La idea de análisis armónico es descomponer funciones en oscilaciones elementales.


Transformada discreta cíclica de Fourier

Se trata de la transformada de Fourier asociada al grupo ℤn.
También se conoce como la transformada finita de Fourier.

Divisibilidad de un número real entre otro.
Forma polar de números complejos (repaso breve).
Raíces de la unidad.
El grupo ℤn como un conjunto de clases de números enteros.
El grupo ℤn como el conjunto {0,1,…,n−1} con ciertas operaciones.
Isomorfismo entre ℤn y las raíces de la unidad.
Caracteres del grupo ℤn.
Se recomienda repasar el tema: Sumas parciales de la serie geométrica.
Se recomienda repasar el tema: Sumas parciales de la serie geométrica. Deducción de la fórmula con la notación sigma.
Sumas de las raíces de la unidad.
Base discreta de Fourier.
Transformada Discreta de Fourier.
Producto interno en un espacio vectorial complejo (repaso de algunas propiedades básicas).
Bases ortonormales en un espacio complejo de dimensión finita con producto interno (repaso).
La matriz de la Transformada Discreta de Fourier después de una normalización apropiada es una matriz unitaria.
La matriz adjunta de una matriz (repaso).
Matrices unitarias (repaso).
Cálculo de la inversa a la TDF usando matrices unitarias.
Cálculo de la inversa a la TDF resolviendo un sistema de ecuaciones lineales.
Transformada Discreta de Fourier y polinomios.
Conoceremos la idea de la transformada rápida de Fourier.
Divide y vencerás, algoritmo del ordenamiento por mezcla.
Transformada rápida de Fourier.
exercises Lower triangular sums.
apuntes Convolución discreta cíclica.
Estos apuntes están escritos junto con Darío Coutiño Aquino.
apuntes Matrices circulantes y su diagonalización.
apuntes Matrices que conmutan con la matriz del desplazamiento cíclico.
ejercicios Multiplicación rápida de polinomios via la Transformada Rápida de Fourier.
Multiplicación de matrices de Toeplitz por vectores via la Transformada Rápida de Fourier.
  Programación: la matriz de Fourier y la transformada finita de Fourier (algoritmo trivial).
  Programación: transformada rápida de Fourier (cuando la longitud del vector es una potencia de 2).
  Programación: representación gráfica de una señal discreta y de su transformada finita de Fourier.
prog Primeros programas con matrices circulantes.
  Programación: convolución discreta cíclica.
Problemas para examen. Tema: transformada finita de Fourier.
Guía del primer examen parcial. Tema: transformada finita de Fourier.

Series de Fourier y coeficientes de Fourier

En esta parte estudiamos elementos de análisis de Fourier sobre el grupo de los enteros ℤ y su dual, la circunferencia unitaria 𝕋 (el toro unidimensional).

Los enteros como un grupo localmente compacto: medida invariante y caracteres.
Isomorfía entre ℝ/ℤ, ℝ/(2πℤ) y 𝕋.
𝕋 como un grupo localmente compacto: medida invariante y caracteres.
Sucesiones (bilaterales) de soporte finito.
Espacios de sucesiones p-sumables, acotadas, convergentes.
Convolución de sucesiones (bilaterales) de soporte finito.
Convolución de sucesiones sumables (teorema de Young).
Series de Fourier absolutamente convergentes.
Convolución sobre los enteros y el álgebra de Wiener.
Series de Fourier y coeficientes de Fourier.
Transformada finita de Fourier y frecuencias reales.
Aproximación de los coeficientes de Fourier por la transformada finita de Fourier.
Programación: aproximación de los coeficientes de Fourier por la transformada finita de Fourier.
Base ortonormal de Fourier sobre un intervalo finito.
Teoremas sobre series de Fourier para funciones cuadrado integrables.
Problema de la convergencia puntual y uniforme de series de Fourier.
Convolución periódica sobre un intervalo finito.
Núcleo de Dirichlet.
Sumas parciales de series de Fourier.
Núcleos aproximativos.
Promedios de Cesàro de una sucesión de números.
Núcleo de Fejér.
Convergencia uniforme de los promedios de Fejér–Cesàro.
Guía del segundo examen parcial. Tema: series de Fourier y coeficientes de Fourier.

Transformada de Fourier

Pasamos al estudio de la transformada de Fourier sobre el grupo ℝ.

Caracteres del grupo ℝ.
Transformada de Fourier de funciones integrables.
Aproximación de la transformada de Fourier sobre números reales por la transformada finita de Fourier.
Transformada de Fourier y la derivación.
La transformada de Fourier, la reflexión y la conjugación.
La transformada de Fourier de la función de Gauss.
La transformada de Fourier del núcleo de Poisson.
La clase de Schwartz y la transformada de Fourier.
Convolución sobre el eje real.
Teorema de convolución.
Núcleos aproximativos y sucesiones de Dirac sobre el eje real.
Fórmula de inversión para la transformada de Fourier.
Identidad de Plancherel.
La transformada de Fourier y los desplazamientos.
Guía del tercer examen parcial. Tema: transformada de Fourier en ℝ.

Transformada de ondícula continua (tema optativo)

El grupo afín positivo sobre el eje real.
Definición de la transformada de ondícula continua.
Identidad de Planchere para la transformada de ondícula continua.
Fórmula de inversión para la transformada de ondícula continua.
Gerardo Ramos Vázquez, El grupo afín positivo y la transformada de ondícula continua.

Bibliografía principal

  1. Wong, Man Wah: Discrete Fourier Analysis.
    In series: Pseudo-Differential Operators: Theory, Applications and Related Areas, vol. 5.
    Springel Basel AG, 2011. ISBN: 978-3-0348-0116-4. DOI: 10.1007/978-3-0348-0116-4.
  2. Pinsky, Mark A.: Introduction to Fourier Analysis and Wavelets.
    In series: Graduate Studies in Mathematics, vol. 102.
    American Mathematical Society, 2002. ISBN-13: 9780821847978.
  3. Gasquet, Claude; Witomski, Patrick: Fourier Analysis and Applications: Filtering, Numerical Computation, Wavelets.
    Translated by R. Ryan.
    Springer, 1998. ISBN 978-1-4612-7211-3. DOI 10.1007/978-1-4612-1598-1.
  4. Rudin, Walter: Functional Analysis. 1991.



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