Análisis Numérico I
Licenciatura en Física y Matemáticas, ESFM del IPN

La asignatura Análisis Numérico I se podría llamar Introducción al Álgebra Lineal Numérica. Dividimos el programa de la asignatura en 6 partes:

  1. Operaciones con vectores y matrices.
  2. Matrices triangulares y factorización LU.
  3. Matrices ortogonales y factorización QR.
  4. Normas matriciales. Métodos iterativos.
  5. Métodos de gradiente y de gradiente conjugado.
  6. Valores y vectores propios.

En las partes 2 y 3 estudiamos métodos directos para resolver sistemas de ecuaciones lineales, y en las partes 4 y 5 se estudiamos métodos iterativos para resolver sistemas de ecuaciones lineales.

(Por favor corrijan mis errores.)



Introducción

Propósito de la asignatura: analizar algoritmos típicos de álgebra lineal, optimizando la rapidez y la precisión.

Prerrequisitos de la asignatura.
Examen de conocimientos previos.
Organización de la asignatura.
Lloyd N. Trefethen, The definition of numerical analysis.
Numerical analysis is the study of algorithms for the problems of continuous mathematics.
Lenguaje de programación recomendado: MATLAB o alguno de sus análogos libres.
Ejemplo simple de programación con vectores y matrices en el lenguaje de MATLAB.
El lenguaje Julia hereda varias ideas de MATLAB y de Python, pero es compilable y por eso muy rápido.
Ejemplo simple de programación con vectores y matrices en C++.
Ejemplo simple de programación con vectores en C.

Algunas clases de matrices especiales

Desde el inicio del curso cada estudiante tiene que elegir su clase de matrices especiales para realizar varias tareas con estas matrices.

Tareas de matices especiales (se hacen por equipos).
Matrices tridiagonales. Esta clase de matrices sirve como modelo y no se puede elegir para hacer la tarea.
Matrices de Toeplitz y su relación con matrices circulantes.
Matrices de Laplace–Dirichlet asociadas a mallas rectangulares (discretización de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales sobre dominios rectangulares).
Matrices de sistemas de ecuaciones para calcular los coeficientes de interpolación polinomial segmentaria de quinto grado (quintic splines).
Se recomienda repasar los conceptos de interpolación segmentaria lineal e interpolación segmentaria cúbica.
Matrices correspondientes a filtros unidimensionales de imágenes.
Matrices reales simétricas de banda.
Matrices de Laplace–Dirichlet para una clase de árboles.
Matrices de sistemas de ecuaciones para calcular los coeficientes de B-splines de grados 3, 4, 5.
Matrices pentadiagonales que surgen al discretizar algunas ecuaciones diferenciales ordinarias.


Operaciones con vectores y matrices

Conceptos básicos de vectores y matrices (repaso).
Producto de una matriz por un vector (repaso).
Producto de dos matrices (repaso).
Matrices diagonales (repaso).
Matrices triangulares (repaso).
Producto de matrices triangulares por vectores y el número de las operaciones de multiplicación.
Producto de matrices triangulares superiores (ejercicios pequeños).
Operaciones elementales y matrices elementales (repaso).
Matrices de permutaciones.
Temas de las clases prácticas (programación).
Programación: Construcción de vectores cuyas componentes están dadas por ciertas reglas.
Programación: Construcción de arreglos pseudoaleatorios en MATLAB.
Programación: Operaciones lineales con vectores (operación axpy).
Programación: Producto punto de dos vectores.
Programación: Producto de dos vectores por componentes.
Programación: Producto diádico de dos vectores.
Programación: Construcción de matrices cuyas entradas están dadas por ciertas reglas.
Programación: Multiplicación de matrices por vectores.
Programación: Multiplicación de una matriz por un vector usando la operación axpy.
Programación: Multiplicación de matrices triangulares por vectores.
Programación: Multiplicación de dos matrices usando el producto punto.
Programación: Multiplicación de dos matrices usando operaciones lineales con columnas (tema optativo).
Programación: Multiplicación de dos matrices usando el producto diádico (tema optativo).
Tarea individual y lista de problemas teóricos.
Tarea individual. Operaciones con vectores y matrices. Versión antigua.
Lista de problemas teóricos. Operaciones con vectores y matrices.


Sistemas con matrices triangulares y factorización LU

Solución de sistemas de ecuaciones lineales con matrices triangulares.
Solución de sistemas de ecuaciones lineales con matrices triangulares, usando operaciones por columnas.
Las matrices inversas de las matrices triangulares tambión son triangulares.
Matrices inversas de las matrices triangulares superiores (ejercicios pequeños).
Operaciones elementales y matrices elementales (repaso).
Eliminación Gaussiana con pivotes diagonales.
Descomposición de una matriz invertible en un producto de matrices elementales.
Descomposición LU. Deducción del algoritmo por medio de matrices elementales.
Factorización LU en acción (ejemplo de orden 3).
Unicidad de la factorización LU (ejercicios pequeños).
Sistemas con matrices simétricas positivas definidas. Descomposición de Cholesky.
Matrices de permutaciones.
Ejemplo de elección de un elemento pivote con varias estrategias de pivoteo.
Factorización PLU.
Temas de las clases prácticas (programación).
Programación: Solución de sistemas de ecuaciones lineales con matrices unitriangulares inferiores.
Programación: Solución de sistemas de ecuaciones lineales con matrices triangulares inferiores.
Programación: Solución de sistemas de ecuaciones lineales con matrices triangulares superiores.
Programación: Solución de sistemas de ecuaciones lineales con matrices triangulares, usando operaciones por columnas.
Programación: Sistemas tridiagonales de ecuaciones lineales.
Programación: Operaciones elementales por renglones.
Programación: Primer paso de la eliminación de Gauss.
Programación: Segundo paso de la eliminación de Gauss.
Programación: Eliminación de Gauss con pivotes diagonales.
Programación: Factorización LU.
Programación: Estrategias de pivoteo en la eliminación de Gauss.
Programación: Factorización PLU.
Tarea individual y lista de problemas teóricos.
Tarea individual. Matrices triangulares y descomposicón LU. Versión antigua.
Lista de problemas teóricos. Matrices triangulares y descomposicón LU.


    Guía del primer examen parcial.


Matrices ortogonales y descomposición QR

Matrices ortogonales. Criterio en términos de renglones y columnas.
Matrices ortogonales. Criterio en términos de producto interno, norma y distancia.
Rotaciones del plano.
Cálculo de la rotación de Givens.
Proyección ortogonal sobre una recta.
Proyección ortogonal sobre un subespacio generado por un vector normalizado.
Proceso de Gram–Schmidt.
Proceso de Gram–Schmidt equivale a la descomposición QR.
Reflexión ortogonal respecto a un hipersubespacio.
Reflecciones (transformaciones) de Householder.
Descomposición QR usando reflectores de Householder.
Descomposición QR usando rotaciones de Givens.
Solución de sistemas de ecuaciones lineales por medio de la descomposición QR.
Solución del problema de mínimos cuadrados.
Matrices para el ajuste polinomial y trigonométrico.
Ajuste polinomial y trigonométrico.
Temas de las clases prácticas (programación).
Programación: Proyección ortogonal sobre la recta generada por un vector no nulo.
Programación: Reflección ortogonal respecto a un hipersubespacio.
Programación: Construcción del vector que define la reflección de Householder.
Programación: Rotación en dos coordenadas.
Programación: Construcción de la rotación de Givens.
Programación: El método modificado de Gram–Schmidt para tres vectores.
Programación: Descomposición QR reducida con el método modificado de Gram–Schmidt.
Programación: Descomposición QR usando reflexiones de Householder.
Programación: Descomposición QR usando rotaciones de Givens (tema optativo).
Programación: Comparación de varios métodos que realizan la descomposición QR.
Programación: Solución de sistemas de ecuaciones lineales con la descomposición QR.
Programación: Solución del problema de mínimos cuadrados por medio de la descomposición QR.
Programación: Construcción de la matriz de Vandermonde.
Programación: Construcción de la matriz para evaluar polinomios trigonométricos en puntos dados.
Ejemplo de combinar GNU Octave con TikZ.
Tarea individual y lista de problemas teóricos.
Tarea individual. Tema: Matrices ortogonales y descomposición QR.
Versión actual (primavera del 2017).
Tarea individual. Ajuste de datos con mínimos cuadrados.
Lista de problemas teóricos. Tema: Matrices ortogonales y descomposición QR.



    Guía del segundo examen parcial.


Normas matriciales, introducción a métodos iterativos

Normas de vectores en Rn (repaso).
Normas matriciales inducidas por normas vectoriales.
Norma matricial inducida por la norma-máximo.
Norma matricial inducida por la 1-norma vectorial.
Norma matricial inducida por la 2-norma vectorial.
Radio espectral.
Teorema de Banach del punto fijo.
Iteraciones lineales y su convergencia.
Método de Gauss–Seidel y de Jacobi.
Convergencia del método de Jacobi para matrices estrictamente diagonal dominantes.
Comparación de los métodos según su convergencia, ejemplos.
Métodos de relajación (tema optativo).
Temas de las clases prácticas (programación).
Programación: Normas en Rn.
Programación: Normas matriciales asociadas a las normas vectoriales inf y 1.
Programación: Método babilónico para calcular raíces cuadradas.
Programación: Métodos de Jacobi y de Gauss–Seidel en coordenadas.
Programación: Método de Jacobi en forma matricial.
Programación: Método de Gauss–Seidel en forma matricial.
Tarea individual y problemas teóricos.
Lista de problemas teóricos. Normas matriciales, introducción a métodos iterativos. Todavía no está escrita.


Guía del segundo examen parcial. Todavía no está escrita.


Método de gradiente conjugado

Fórmula para el gradiente de una forma cuadrática.
De la solución de un sistema de ecuaciones lineales a la minimización de una forma cuadrática.
Minimización de una forma cuadrática sobre una recta.
Método del gradiente (método del descenso en el sentido del antigradiente, máximo descenso).
Método de direcciones conjugadas y su convergencia.
Método de gradiente conjugado, ortogonalidad de vectores.
Temas de las clases prácticas (programación).
Programación: El método iterativo con direcciones aleatorias y con un dibujo.
Programación: Método de descenso en el sentido del antigradiente.
Programación: Producto interno asociado a una matriz real simétrica positiva definida.
Programación: Método iterativo con direcciones conjugadas.
Programación: Método de gradiente conjugado.
Programación: Comprobación de varias propiedades de vectores en el método de gradiente conjugado.
Programación: Comparación de varios métodos iterativos.
Tarea individual y problemas teóricos.
Tarea individual. Normas matriciales, introducción a métodos iterativos. Versión antigua.
Lista de problemas teóricos. Método de gradiente conjugado. Todavía no está escrita.

Valores y vectores propios

Ejemplo de descomposición en valores singulares de una matriz 2 por 2.
Ejemplo de descomposición en valores singulares de una matriz 2 por 3.
Descomposición en valores singulares: definición y propiedades elementales.
Existencia de una descomposición en valores singulares.
Conceptos generales sobre el problema de valores propios.
Cotas y localización de valores propios.
Método de la potencia iterada.
Deflación.
Método para matrices simétricas: Jacobi, Givens, Householder.
Métodos para matrices no-simétricas: Krylov, Danilewsky, Lanczos.
Reducción a una forma de Hessenberg.
Transformación LR y QR.


Guía del tercer examen parcial. Todavía no está escrita.


Guía del examen extraordinario y del ETS.


Literatura principal

  1. Trefethen, Lloyd N. (2006). Numerical analysis (short essay).
  2. Watkins, David S., Fundamentals of Matrix Computations.
    Third Edition. Wiley, 2010.
    ISBN: 978-0-470-52833-4.
  3. Bau III, David; Trefethen, Lloyd N. Numerical linear algebra.
    Philadelphia: Society for Industrial and Applied Mathematics, 1997.

Literatura adicional

  1. Golub, Gene H.; Van Loan, Charles F., Matrix Computations.
    Third Edition. The Johns Hopkins University Press, 1996.
  2. Gastinel, Noel, Analyse Numerique Lineaire.
    Hermann, 1966.
  3. Faddeev, D. K.; Faddeeva, V. N., Computational Methods of Linear Algebra, 1963.
  4. R. L. Burden y J. D. Faires, Análisis Numérico.
  5. Householder, Alston S., Theory of Matrices in Numerical Analysis, 1964.
    Blaisdell publishing company, 1964. Republicated in 2006 by Dover.
  6. Programas de Métodos Numéricos I y de Análisis Numérico I y II en Licenciatura de Física y Matemáticas de la ESFM del IPN.




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