Métodos Numéricos I, agosto–diciembre de 2014
Ingeniería Matemática, ESFM del IPN

(Por favor corrijan mis errores.)

El programa de la asignatura Métodos Numéricos I se divide en 4 partes:

  1. Temas preliminares.
  2. Solución de sistemas de ecuaciones lineales.
  3. Raíces de ecuaciones no lineales.
  4. Interpolación polinomial.


Lloyd N. Trefethen, The definition of numerical analysis.
Numerical analysis is the study of algorithms for the problems of continuous mathematics.
Panorama del curso (presentación).

Temas preliminares

Primero necesitamos repasar ciertas operaciones con polinomios.
Multiplicación de polinomios.
Multiplicación de polinomios por binomios mónicos (presentación).
División de polinomios.
Regla de Ruffini en acción, división de un polinomio entre un binomio mónico, división sintética (presentación).
Algoritmo de Ruffini–Horner para dividir un polinomio entre un binomio mónico, con explicación.
Construcción de polinomios con raíces dadas (presentación).
Vamos a estudiar cómo se representan números en una computadora.
Representación de números en el sistema binario.
Operaciones aritméticas en el sistema binario.
Representación de números enteros en una computadora. Formatos int8, int16, int32 e int64. Complemento a dos.
Notación científica.
Sistemas numéricos de punto flotante. Formatos float32 y float64.
Formato float32 (binary32).
Primer conocimiento: errores de redondeo y la aritmética con redondeo.
Errores absolutos y relativos.
Redondeo al entero más cercano.
Ejemplos de redondeo.
Errores de redondeo. Aritmética con redondeo.
Propagación de errores.
Cancelación catastrófica.
Vamos a repasar algunas herramientas de cálculo.
Repaso de herramientas de cálculo (presentación).
Propiedades de las funciones continuas. Teorema del valor intermedio.
Propiedades de las funciones derivables. Teorema del valor medio.
Funciones Lipschitz continuas.
Temas de las clases prácticas (programación).
Programación: Introducción al sistema Wolfram Mathematica.
Programación: Ciclos y otros elementos de programación en Wolfram Mathematica.
Programación: Multiplicación de un polinomio por un binomio.
Programación: División de un polinomio entre un binomio.
Programación: Evaluación de un polinomio en un punto con varios algoritmos.
Programación: Punto flotante y épsilon de la máquina.
Programación: Multiplicación de polinomios (tarea optativa).
Tarea individual, problemas teóricos y guía del examen.
Primera tarea individual (Temas preliminares).
Última fecha para entregar: 1 de septiembre de 2014.
Lista de problemas para el primer examen parcial (Temas preliminares).
Guía del primer examen parcial (Temas preliminares).

Solución de sistemas de ecuaciones lineales

Vectores y matrices.
Producto de una matriz por un vector.
Producto de dos matrices.
Matrices triangulares.
Producto de matrices triangulares por vectores y el número de las operaciones de multiplicación.
Sumas triangulares inferiores e intercambio de sumatorias (ejercicios pequeños).
Producto de matrices triangulares superiores (ejercicios pequeños).
Matrices inversas de las matrices triangulares superiores (ejercicios pequeños).
Solución de sistemas de ecuaciones lineales con matrices triangulares.
Solución por medio de la eliminación gaussiana.
Ejemplo de elección de un elemento pivote con varias estrategias de pivoteo (presentación).
Estrategias de pivoteo.
Matrices elementales.
Descomposición de una matriz invertible en un producto de matrices elementales.
Factorización LU de matrices.
Factorización LU de matrices.
Factorización LU en acción (ejemplo de orden 3).
Unicidad de la factorización LU (ejercicios pequeños).
Matrices de permutaciones.
Matrices de permutaciones.
Ejemplo de factorización PLU (presentación).
Factorización PLU de matrices.
Número de operaciones en la eliminación de Gauss.
Métodos iterativos de Jacobi y de Gauss–Seidel.
Normas de vectores y matrices.
Análisis de redes eléctricas simples.
Temas de las clases prácticas (programación).
Programación: Operaciones con matrices en Wolfram Mathematica.
Programación: Multiplicación de matrices por vectores.
Programación: Solución de sistemas de ecuaciones lineales con matrices unitriangulares inferiores.
Programación: Solución de sistemas de ecuaciones lineales con matrices triangulares inferiores.
Programación: Solución de sistemas de ecuaciones lineales con matrices triangulares superiores.
Programación: Sistemas tridiagonales de ecuaciones lineales.
Programación: Programación: Operaciones elementales por renglones.
Programación: Primer paso de la eliminación de Gauss.
Programación: Segundo paso de la eliminación de Gauss.
Programación: Eliminación de Gauss con pivotes diagonales.
Programación: Estrategias de pivoteo en la eliminación de Gauss.
Programación: Factorización LU.
Programación: Métodos iterativos de Jacobi y Gauss–Seidel.
Tarea individual, problemas teóricos y guía del examen.
Segunda tarea individual (Solución de sistemas de ecuaciones lineales). Versión actual.
Lista de problemas para el segundo examen parcial (Matrices y sistemas de ecuaciones lineales).

Raíces de ecuaciones no lineales

Puntos fijos de funciones contractivas.
Ejemplos de aplicación del método del punto fijo (verificación de las condiciones).
Ejercicios: análisis de una función contractiva.
Introducción: Raíces de ecuaciones no lineales.
Método de bisección.
Métodos de la secante y de la regla falsa.
Método de Newton–Raphson (método de la tangente).
Método de Newton–Raphson como un caso particular del método de punto fijo.
Órdenes de convergencia. Condiciones suficientes para la convergencia lineal y cuadrática del método del punto fijo.
Aceleración de convergencia. Método Δ2 de Aitken. Método de Steffensen.
Raíces de polinomios. Método de Newton.
Método de Müller.
Temas de las clases prácticas (programación).
Programación: Ejemplos para el método de punto fijo.
Programación: Método de la iteración de punto fijo.
Programación: Método de bisección.
Programación: Métodos de la secante y de la posición falsa (tarea optativa).
Programación: Método de Newton–Raphson.
Programación: Método babilónico para calcular raíces cuadradas.
Programación: Método de Steffensen (tarea optativa).
Programación: Método de Newton–Raphson para los polinomios.
Programación: Método de Müller (tarea optativa).

Interpolación polinomial

Introducción a la interpolación polinomial.
Reducción a un sistema de ecuaciones lineales.
Existencia y unicidad del polinomio interpolante, con ayuda de Vandermonde.
Polinomios básicos de Lagrange.
Fórmula de Lagrange para el polinomio interpolante.
Error de la interpolación polinomial.
Fórmulas recursivas de Neville para el polinomio interpolante (método de Neville).
Diferencias divididas de primer orden.
Diferencias divididas.
Diferencias divididas. Fórmula de Newton para el polinomio interpolante.
Polinomio interpolante en diferencias progresivas.
Polinomio interpolante en diferencias regresivas.
Interpolación segmentaria lineal (splines lineales).
Interpolación segmentaria cúbica (splines cúbicos).
Curvas de Bezier.
Curvas paramétricas.
Interpolación de Hermite.
Temas de las clases prácticas (programación).
Programación: Construcción del polinomio interpolante por la fórmula de Lagrange.
Programación: Construcción del polinomio interpolante con el método de Newton.
Programación: Interpolación segmentaria lineal (splines lineales).
Programación: Interpolación segmentaria cúbica (splines cúbicos).
Programación: Algoritmo de Neville (tarea optativa).
Tarea práctica. Tema: Aplicación de la interpolación polinomial.
Agradezco al profesor Erick Lee Guzmán por la idea de esta tarea.
Soluciones de los estudiantes:
  • pdf  Gerardo Espinosa Escalona.
  • pdf  Rodrigo Rivera Estrada.
  • pdf  Rubí Espinosa Miranda.
Tarea individual, problemas teóricos y guía del examen.
Tarea individual 3 (Interpolación polinomial). Versión actual.
Lista de problemas para el tercer examen parcial (Interpolación polinomial).
Tercer examen parcial (Interpolación polinomial).


Guía del Examen Extraordinario y del Examen a Título de Suficiencia.
Incluye la lista de problemas teóricos y algoritmos principales.

Literatura

  1. Trefethen, Lloyd N. (2006). Numerical analysis.

  2. R. L. Burden y J. D. Faires, Análisis Numérico, Quinta Ed. Thomson, México, 768 páginas, QA297, 387. Co., Boston, Massachusetts, USA, 768 p., QA297, 385.

  3. Cheney, Ward and Kincaid, David, Numerical Mathematics and Computing, Brooks/Cole: Cengage Learning, 2013.
    ISBN-13: 978-1-133-10371-4.

  4. Allen, Richar C., On Introduction Numerical Computing, Cuarta Ed. WB Sauders Company 1973, Philadelphia, 258 p., QA297, 545.

  5. Smith, W. Allen, Análisis Numérico. Prentice Hall Hispanoamericana, Ed. México, 608 p., QA297, 554.


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