Álgebra III (Álgebra Lineal)

Álgebra III (Álgebra Lineal)
Licenciatura en física y matemáticas, ESFM del IPN

Por favor corrijan mi español y mis errores matemáticos.

El programa (temario) de la asignatura Álgebra III se divide en 6 partes:

Producto interno, espacios euclideanos y unitarios.
Permutaciones.
Determinantes.
Valores y vectores propios.
Forma canónica de Jordan.
Formas cuadráticas.
Operadores lineales en espacios con producto interno.

	Propósito de Álgebra Lineal: analizar propiedades de operadores lineales en espacios vectoriales de dimensión finita.
pdf	Organización del curso y sistema de calificaciones.
ejercicios	Funcionales lineales y combinaciones lineales (repaso).
ejercicios	Funcionales bilineales y combinaciones lineales.

Agradezco por varios consejos e ideas a mis colegas de la ESFM, especialmente al profesor Eliseo Sarmiento Rosales.
Agradezco por muchas correcciones a los estudiantes Iván de Jesus Rodríguez Durán e Issis Fragoso Martínez.

En problemas teóricos y tareas individuales de los temas Permutaciones y Determinantes usé los resultados del servicio social de Sadi Manuel Ramírez González. En problemas teóricos y tareas individuales de los temas Valores y vectores propios, Forma canónica de Jordan usé los resultados del servicio social de Gustavo Antonio Sandoval Ángeles.

Producto interno, espacios euclideanos y unitarios

Vamos a conocer espacios vectoriales reales y complejos de dimensión finita, provistos con productos internos. Dado un producto interno, se pueden definir la norma y la distancia asociadas a este producto interno. En espacios con producto interno es natural usar bases ortonormales porque las coordenadas de un vector respecto a una base ortonormal se expresan de manera muy simple a través del producto interno. Para construir una base ortonormal en el subespacio generado por un conjunto de vectores, se aplica el proceso de ortogonalización de Gram–Schmidt.
apuntes	Espacios vectoriales reales con producto interno.
apuntes	Espacios vectoriales complejos con producto interno.
apuntes	Proyección ortogonal de un vector sobre otro.
apuntes	Desigualdad de Schwarz.
apuntes	Norma y distancia inducidas por un producto interno.
apuntes	Listas ortogonales y ortonormales de vectores.
apuntes	Proyección ortogonal de un vector sobre el subespacio generado por una lista ortogonal de vectores.
apuntes	Matriz de Gram de una lista de vectores.
apuntes	Proceso de ortogonalización de Gram–Schmidt.
apuntes	Método matricial de ortogonalización.
apuntes	Bases ortonormales.
apuntes	Transformaciones lineales isométricas.
apuntes	Representación de funcionales lineales en espacios euclidianos y unitarios (teorema de Riesz–Fréchet en el caso de dimensión finita).
apuntes	Sumas directas (repaso).
apuntes	Sumas ortogonales y complementos ortogonales.
ejercicios	Operaciones con el producto interno en GNU Octave. Tema optativo. Agradezco al profesor Erick Lee Guzmán por la idea de mostrar sistemas de álgebra computacional.
	Tarea individual y problemas teóricos.
tarea	Tarea individual 1. Tema: Producto interno. Versión actual.
problemas	Problemas teóricos. Tema: Espacios con producto interno.
problemas adicionales	Problemas teóricos adicionales. Tema: Espacios con producto interno.

Permutaciones

Para estudiar determinantes necesitamos algunos conocimientos de permutaciones. El estudio de las permutaciones ayudará también en la teoría de grupos (Álgebra Moderna I). Las permutaciones de un conjunto fijo se pueden multiplicar y forman un grupo. Las permutaciones más simples son ciclos y transposiciones. La multiplicación de permutaciones no es conmutativa, pero cualesquiera dos ciclos disjuntos conmutan. Cualquier permutación se puede factorizar en un producto de ciclos disjuntos (de manera única) y también en un producto de transposiciones (de varias maneras). El concepto de decremento hace el papel principal en la descomposición de permutaciones en transposiciones y permite calcular el signo de una permutación de manera muy eficiente.
apuntes	ejercicios	Permutaciones.
apuntes	ejercicios	Producto de permutaciones (composición de permutaciones).
apuntes		Grupo simétrico.
apuntes		Descomposición de permutaciones en ciclos disjuntos.
apuntes		Cambio de la estructura cíclica de una permutación al multiplicarla por una transposición.
apuntes		Descomposición de una permutación en transposiciones.
apuntes		Signo de una permutación.
apuntes		Subgrupo alternante. Construcción de biyecciones entre permutaciones pares e impares.
apuntes		Funciones antisimétricas.

		Tarea individual y problemas teóricos.
tarea		Tarea individual 2. Tema: Permutaciones. Versión actual. Compuse los ejercicios junto con Sadi Manuel Ramírez González.
problemas		Problemas teóricos para examen. Tema: Permutaciones. Compuse los problemas con ayuda de Sadi Manuel Ramírez González.
problemas adicionales		Problemas teóricos adicionales. Tema: Permutaciones.

Determinantes

El determinante de una matriz cuadrada de orden n es un escalar que se puede calcular por ciertas reglas. Del punto de visto geométrico, el determinante es el volumen orientado de un paralelepípedo n-dimensional. Algebráicamente, es una forma n-lineal alternante de los renglones (o de las columnas) de la matriz. Nosotros vamos a definir el determinante de manera explícita, como cierta suma de n! sumandos, donde cada sumando corresponde a una permutación. Determinantes tienen muchas aplicaciones, por ejemplo: el criterio de la invertibilidad de una matriz, el jacobiano que se usa para hacer un cambio de variables en una integral multidimensional.
apuntes		Definición de determinante (presentación).
apuntes		Determinante como una función n-lineal alternante (presentación).
apuntes		Determinante y operaciones elementales.
apuntes		Determinante del producto.
apuntes		Determinante de una matriz triangular por bloques.
apuntes		Menores y cofactores. Expansión del determinante por cofactores.
apuntes		Cálculo de determinantes numéricos.
apuntes		Cálculo de determinantes simbólicos.
apuntes		Matriz adjunta clásica (matriz de cofactores transpuesta) de una matriz cuadrada.
apuntes		Criterio de invertibilidad de una matriz cuadrada en términos de su determinante.
apuntes		Regla de Cramer.
apuntes		Determinante de Vandermonde y su aplicación a la interpolación polinomial.
apuntes		Interpretación de los determinantes como área y volumen (tema adicional).
apuntes		Rango y menores de una matriz (tema adicional).
		Tarea individual y problemas teóricos.
tarea		Tarea individual 3. Tema: Determinantes. Versión actual. Compuse los ejercicios junto con Sadi Manuel Ramírez González.
problemas		Problemas teóricos para examen. Tema: Determinantes. Compuse los problemas con ayuda de Sadi Manuel Ramírez González.
problemas adicionales		Problemas teóricos adicionales. Tema: Determinantes.

Valores y vectores propios (elementos de la teoría espectral de operadores lineales)

Los valores y vectores propios de un operador lineal son sus características más importantes, especialmente para operadores lineales diagonalizables. Los valores y vectores propios tienen aplicaciones numerosas en matemáticas y en física. Por ejemplo, estos sirven para calcular la exponencial de una matriz diagonalizable.
apuntes	Valores propios y vectores propios de un operador lineal.
apuntes	Polinomio caraterístico de un operador lineal.
apuntes	Espectro de un operador lineal.
apuntes	Matrices similares (matrices semejantes) y sus propiedades.
apuntes	Multiplicidades algebraica y geométrica de un valor propio de un operador lineal.
apuntes	Cálculo de valores y vectores propios (ejemplos).
apuntes	Independencia lineal de subespacios propios asociados a diferentes valores propios.
apuntes	Matrices polinomiales.
apuntes	Teorema de Cayley–Hamilton.
apuntes	Ideales del anillo de los polinomios.
apuntes	Polinomios anuladores y el polinomio mínimo de un operador lineal.
apuntes	Operadores lineales diagonalizables.
apuntes	Función exponencial de una matriz.
apuntes	Cálculo de la función exponencial de una matriz diagonalizable.
apuntes	Cálculo de potencias de matrices usando valores propios.
apuntes	Teorema del mapeo del espectro (en el caso polinomial).
	Tarea individual y problemas teóricos.
tarea	Tarea individual 4. Tema: Valores y vectores propios. Versión actual. Compuse los ejercicios junto con Gustavo Antonio Sandoval Ángeles.
problemas	Problemas teóricos. Tema: Valores y vectores propios.
problemas adicionales	Problemas teóricos adicionales. Tema: Valores y vectores propios.

Forma canónica de Jordan

Un operador lineal tiene varias matrices asociadas con respecto a varias bases. ¿Cuál de las matrices asociadas es la más útil? La matriz diagonal, si el operador es diagonalizable. La forma canónica de Jordan, en el caso general. La FCJ es una herramienta teórica muy fuerte. Además se aplica para calcular la exponencial de una matriz no diagonalizable.
apuntes	Subespacios invariantes y descomposición primaria.
apuntes	Matrices diagonales por bloques.
apuntes	Operadores lineales nilpotentes.
apuntes	Bloque de Jordan. Polinomio de un bloque de Jordan.
apuntes	Matriz de Jordan. Forma canónica de Jordan.
apuntes	Polinomio mínimo de una matriz de Jordan.
apuntes	Imágenes de las potencias de un operador lineal.
apuntes	Invariantes de un operador lineal. Unicidad de la forma canónica de Jordan.
apuntes	Ejemplo de construcción de una base de Jordan de una matriz cuadrada de orden 2.
apuntes	Ejemplos de construcción de bases de Jordan de matrices de orden 3.
apuntes	Ejemplos de cómputo de la forma canónica de Jordan a través de los rangos de ciertas potencias.
apuntes	Cálculo de la función exponencial de una matriz a través de su forma canónica de Jordan.
	Tarea individual y problemas teóricos.
tarea	Tarea individual 5. Tema: Forma canónica de Jordan. Versión actual. Con la colaboración de Gustavo Antonio Sandoval Ángeles.
problemas	Problemas teóricos. Tema: Forma canónica de Jordan.
problemas adicionales	Problemas teóricos adicionales. Tema: Forma canónica de Jordan.

examen

Segundo examen parcial. Temas: valores y vectores propios, forma canónica de Jordan.

examen

Tercer examen parcial. Temas: forma canónica de Jordan, espacios vectoriales con producto interno.

Formas cuadráticas

Formas cuadráticas sirven para buscar máximos y mínimos de una función de varias variables. Además formas cuadráticas están en una correspondencia biyectiva con operadores autoadjuntos. Para toda forma cuadrática existe una base del espacio tal que la matriz asociada es diagonal. Vamos a estudiar cómo diagonalizar una forma cuadrática y cómo determinar el signo de sus valores.
apuntes	Formas bilineales.
apuntes	Representación matricial de una forma bilineal.
apuntes	Dos transformaciones lineales asociadas a una forma bilineal (tema optativo).
apuntes	Formas cuadráticas y su relación con formas bilineales simétricas.
apuntes	Representación matricial de una forma cuadrática. Cambio de base. Matrices congruentes.
apuntes	Reducción de una forma cuadrática a su forma canónica (diagonalización de una forma cuadrática). Método de Lagrange.
apuntes	Reducción de una forma cuadrática a su forma canónica. Método matricial.
apuntes	Índices de inercia de una forma cuadrática.
apuntes	Congruencia de matrices reales simétricas.
apuntes	Signo de los valores de una forma cuadrática.
apuntes	Criterios de Sylvester.
apuntes	Demostración del criterio de Sylvester de que una matriz es positiva definida.
apuntes	Matriz hessiana y algunas aplicaciones de formas cuadráticas en Cálculo diferencial de varias variables (tema optativo).
	Tarea individual y problemas teóricos.
tarea	Tarea individual 6. Tema: Formas cuadráticas. Versión antigua.
problemas	Problemas teóricos. Tema: Formas cuadráticas.
problemas	Problemas teóricos para examen (lista reducida). Tema: Formas cuadráticas.
problemas adicionales	Problemas teóricos adicionales. Tema: Formas cuadráticas.

Operadores lineales en espacios con producto interno

En la práctica, muchos espacios vectoriales están provistos con productos internos. Es natural estudiar como interactúan operadores lineales con un producto interno. Vamos estudiar a estudiar propiedades básicas del operador adjunto, conocer la clase de los operadores normales (que tienen matriz diagonal respecto una base ortonormal) y sus subclases: operadores autoadjuntos y unitarios. Operadores autoadjuntos son personajes principales de la mecánica cuántica.
apuntes	Zoológico de matrices normales.
apuntes	Ejemplos de la construcción del operador adjunto.
apuntes	Transformación adjunta. Operador adjunto.
apuntes	Matriz adjunta (matriz transpuesta conjugada).
apuntes	Complemento ortogonal de la imagen de un operador lineal.
apuntes	Isometrías lineales.
apuntes	Operadores unitarios y ortogonales.
apuntes	Operadores autoadjuntos.
apuntes	Triangulación de Schur (triangularización ortonormal) de un operador lineal en un espacio unitario. Triangulación de Schur (descomposición de Schur) de una matriz compleja cuadrada.
apuntes	Triangulación de Schur (triangularización ortonormal) de una matriz compleja cuadrada, otra forma de escribir la demostración.
apuntes	Operadores normales.
apuntes	Proyecciones ortogonales.
apuntes	Operadores positivos.
	Reducción ortogonal de una forma cuadrática. (No lo vamos a ver este tema en este curso.)
	Tarea individual. Tema: Operadores lineales en espacios con producto interno. (todavía no está escrita).
problemas	Problemas teóricos. Tema: Operadores lineales en espacios con producto interno. Versión antigua.

Examen extraordinario y examen a título de suficiencia

pdf	Guía del examen extraordinario del año 2013.

Literatura principal

S. Lipschutz, S.; Lipson, M.: Schaum's outline of theory and problems of linear algebra. Third edition. McGraw–Hill, 2001.
Preview (Google Books)
Friedberg, S. H.; Insel, A. J.; L. E. Spence, L. E.: Álgebra lineal. Cuarta edición. Pearson Education, 2003.
Meyer, C. D.: Matrix Analysis and Applied Linear Algebra.
Online version: http://matrixanalysis.com/DownloadChapters.html.
Hoffman, K.; Kunze, R.: Linear algebra. Second edition. Prentice-Hall, Englewood Cliffs, New Jersey, 1971.

Literatura adicional

Moore, J. T.: Elements of Linear Algebra and Matrix Theory. McGraw-Hill (New York), 1968.
Axler, S.: Linear Algebra Done Right. Second Edition. Springer, 2004.
Gel'fand, I. M.: Lectures on Linear Algebra. Interscience (New York), 1961.
Paige, L. J.; Dean Swift, J.; Slobko, T. A.: Elementos de Álgebra lineal. Segunda edición. 1982.
Preview (Google books)
Anton, H.: Álgebra lineal. Cuarta edición. Limusa, 2009.

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