Análisis Matemático I, ESFM del IPN

Enero–junio de 2019. La página está en contrucción.

Contenido:


Nociones sobre cardinalidad

Conjuntos equipotentes.
Conjuntos finitos.
The Infinite Hotel Paradox (Jeff Dekofsky).
Teorema de Cantor, Schröder y Bernstein.
Conjuntos numerables.
Comparación de conjuntos por el «tamaño».
El conjunto potencia de un conjunto.
El conjunto de funciones de un conjunto al otro.
Propiedades de conjuntos infinitos.
Números cardinales (este tema no se incluye en el examen).
Hipótesis del continuo (este tema no se incluye en el examen).
Problemas para examen. Tema: «Conjuntos equipotentes».



Espacios métricos y conceptos topológicos elementales

Espacios métricos: definición y ejemplos.
Bolas en espacios métricos.
Topología inducida por una métrica.
El interior de un conjunto en un espacio métrico.
Conjuntos cerrados en espacios métricos.
La cerradura de un conjunto en un espacio métrico.
Subconjuntos densos de un espacio métrico.
La frontera de un conjunto en un espacio métrico.
Funciones continuas entre espacios métricos.
Subespacios métricos.
Problemas para examen. Tema: «Espacios métricos, conceptos topológicos elementales».
Tarea adicional. Cálculo de las distancias entre los vértices de un grafo.
Tarea adicional. Distancia de Hausdorff.


Espacios métricos, propiedades más especiales

Subespacios métricos.
Suceciones convergentes en espacios métricos (repaso).
Descripción de conceptos topológicos en espacios métricos en términos de sucesiones convergentes.
Espacios pseudométricos.
Conjuntos acotados en espacios métricos.
Funciones uniformemente continuas.
Funciones Lipschitz continuas.
Isometrías de espacios métricos.
Sucesiones de Cauchy.
Espacios métricos completos.
Extensión continua de una función uniformemente continua definida en un subconjunto denso del dominio.
Teorema del punto fijo (de Banach).
Teorema de Picard sobre la existencia y unicidad de la solución del problema de Cauchy.
Completación de espacios métricos.
Espacios métricos conexos.
Descripción de los subconjuntos conexos del eje real.
Espacios métricos arco-conexos.
 
Teorema de Baire.
Espacios métricos separables.
Espacios métricos totalmente acotados.
Puntos de acumulación de una sucesión.
Espacios métricos compactos, definición en términos topológicos.
Criterio de compacidad para espacios métricos.
Problemas para examen. Tema: «Espacios métricos, propiedades especiales».

Espacios normados, el primer conocimiento

Espacios normados.
Criterio de completitud de espacios normados, en términos de series.
Conjuntos convexos en espacios vectoriales.
Bolas en espacios normados.
Comparación de normas. Normas equivalentes.
Desigualdades de Bernoulli y de Young.
Desigualdad de Hölder para sucesiones.
Desigualdad de Minkowski para sucesiones.
Normas en Cn.
El espacio de las sucesiones acotadas.
El espacio de las sucesiones convergentes. El espacio de las sucesiones convergentes a cero.
El espacio de las sucesiones sumables en la potencia p.
El producto de dos espacios normados.
Lema de Riesz y el teorema sobre la bola unitaria en espacios normados de dimensión infinita.
Problemas para examen. Tema: «Espacios normados, el primer conocimiento».
 
Espacios cocientes de espacios normados. Este tema no se incluye en el examen.
Operadores lineales acotados. La norma de un operador. Este tema no se incluye en el examen.
Teorema de la transformación lineal abierta. Este tema no se incluye en el examen.


Bibliografía



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