Análisis Matemático I, ESFM del IPN

Enero–junio de 2019. La página está en contrucción.

Contenido:


Nociones sobre cardinalidad

Conjuntos equipotentes.
Conjuntos finitos.
The Infinite Hotel Paradox (Jeff Dekofsky).
Teorema de Cantor, Schröder y Bernstein.
Conjuntos numerables.
Comparación de conjuntos por el «tamaño».
El conjunto potencia de un conjunto.
El conjunto de funciones de un conjunto al otro.
Propiedades de conjuntos infinitos.
Números cardinales (este tema no se incluye en el examen).
Hipótesis del continuo (este tema no se incluye en el examen).
Problemas para examen. Tema: «Conjuntos equipotentes».



Espacios métricos y conceptos topológicos elementales

Espacios métricos: definición y ejemplos.
Bolas en espacios métricos.
Topología inducida por una métrica.
El interior de un conjunto en un espacio métrico.
Conjuntos cerrados en espacios métricos.
La cerradura de un conjunto en un espacio métrico.
La frontera de un conjunto en un espacio métrico.
Funciones continuas entre espacios métricos.


Espacios métricos, propiedades más especiales

Funciones uniformemente continuas.
Espacios pseudométricos.
Espacios métricos completos.
Completación de espacios métricos.
Teorema del punto fijo (de Banach).
Conjuntos acotados en espacios métricos.
Conjuntos totalmente acotados en espacios métricos.
Conjuntos compactos en espacios métricos.
Conjuntos compactos y convergencia de sucesiones.

Espacios normados

Espacios normados.
Desigualdades de Hölder y Minkowski para el caso finito.
Normas en Rn.
Espacio de las sucesiones acotadas.
Espacio de las sucesiones convergentes.
Espacio de las sucesiones sumables.
Desigualdades de Hölder y Minkowski para sucesiones.
Espacio de las sucesiones cuadrado sumables.
Espacio de las sucesiones sumables en la potencia p.
Espacios normados completos (espacios de Banach).
Los espacios de sucesiones p-sumables son completos.
Los espacios de funciones p-integrables son completos.
Operadores lineales acotados. La norma de un operador.


Espacios de Hilbert

Producto interno y sus propiedades elementales.
Identidad de Binet–Cauchy y sus aplicaciones.
Desigualdad de Schwarz.
La norma inducida por un producto interno. Identidad de paralelogramo. Identidad de polarización.
Espacios de Hilbert.
El complemento ortogonal de un subespacio cerrado en un espacio de Hilbert.
Proyecciones ortogonales sobre subespacios de espacios de Hilbert.
Listas ortonormales en espacios de Hilbert.
Sucesiones ortonormales en espacios de Hilbert.
Familias ortonormales en espacios de Hilbert.
Bases ortonormales en espacios de Hilbert.
Correspondencia entre los operadores lineales acotados y las formas hermitianas acotadas.
Operador adjunto.

Espacios de funciones

Convergencia puntual y convergencia uniforme.
Intercambio de orden de límite.

Series de Fourier

Definición de series de Fourier y de coeficientes de Fourier.


Bibliografía

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