Análisis Matemático I (espacios métricos y normados)

Enero–junio de 2019. La página está en contrucción.

Contenido:

apuntes	Conjuntos equipotentes.
apuntes	Conjuntos finitos.
video	The Infinite Hotel Paradox (Jeff Dekofsky).
apuntes	Teorema de Cantor, Schröder y Bernstein.
apuntes	Conjuntos numerables.
apuntes	Comparación de conjuntos por el «tamaño».
apuntes	El conjunto potencia de un conjunto.
apuntes	El conjunto de funciones de un conjunto al otro.
apuntes	Propiedades de conjuntos infinitos.
	Números cardinales (este tema no se incluye en el examen).
	Hipótesis del continuo (este tema no se incluye en el examen).
problemas	Problemas para examen. Tema: «Conjuntos equipotentes».

apuntes	Espacios métricos: definición y ejemplos.
apuntes	Bolas en espacios métricos.
apuntes	Topología inducida por una métrica.
apuntes	El interior de un conjunto en un espacio métrico.
apuntes	Conjuntos cerrados en espacios métricos.
apuntes	La cerradura de un conjunto en un espacio métrico.
apuntes	Subconjuntos densos de un espacio métrico.
apuntes	La frontera de un conjunto en un espacio métrico.
apuntes	Funciones continuas entre espacios métricos.
apuntes	Subespacios métricos.
problemas	Problemas para examen. Tema: «Espacios métricos, conceptos topológicos elementales».
tarea	Tarea adicional. Cálculo de las distancias entre los vértices de un grafo.
	Tarea adicional. Distancia de Hausdorff.

apuntes	Subespacios métricos.
apuntes	Suceciones convergentes en espacios métricos (repaso).
apuntes	Descripción de conceptos topológicos en espacios métricos en términos de sucesiones convergentes.
apuntes	Espacios pseudométricos.
apuntes	Conjuntos acotados en espacios métricos.
apuntes	Funciones uniformemente continuas.
apuntes	Funciones Lipschitz continuas.
apuntes	Isometrías de espacios métricos.
apuntes	Sucesiones de Cauchy y espacios métricos completos.
apuntes	Sucesiones regulares de Cauchy.
apuntes	Extensión continua de una función uniformemente continua definida en un subconjunto denso del dominio.
apuntes	Teorema del punto fijo (de Banach).
apuntes	Teorema de Picard sobre la existencia y unicidad de la solución del problema de Cauchy.
apuntes	Completación de espacios métricos.
apuntes	Espacios métricos conexos.
apuntes	Descripción de los subconjuntos conexos del eje real.
apuntes	Espacios métricos arco-conexos.

apuntes	Teorema de Baire.
apuntes	Espacios métricos separables.
apuntes	Espacios métricos totalmente acotados.
apuntes	Puntos de acumulación de una sucesión.
apuntes	Espacios métricos compactos, definición en términos topológicos.
apuntes	Criterio de compacidad para espacios métricos.
problemas	Problemas para examen. Tema: «Espacios métricos, propiedades especiales».

apuntes	Espacios normados.
apuntes	Criterio de completitud de espacios normados, en términos de series.
apuntes	Conjuntos convexos en espacios vectoriales.
apuntes	Bolas en espacios normados.
apuntes	Comparación de normas. Normas equivalentes.
apuntes	Desigualdades de Bernoulli y de Young.
apuntes	Desigualdad de Hölder para sucesiones.
apuntes	Desigualdad de Minkowski para sucesiones.
apuntes	Normas en Cⁿ.
apuntes	El espacio de las sucesiones acotadas.
apuntes	El espacio de las sucesiones convergentes. El espacio de las sucesiones convergentes a cero.
apuntes	El espacio de las sucesiones sumables en la potencia p.
apuntes	El producto de dos espacios normados.
apuntes	Lema de Riesz y el teorema sobre la bola unitaria en espacios normados de dimensión infinita.
problemas	Problemas para examen. Tema: «Espacios normados, el primer conocimiento».

apuntes	Espacios cocientes de espacios normados. Este tema no se incluye en el examen.
apuntes	Operadores lineales acotados. La norma de un operador. Este tema no se incluye en el examen.
apuntes	Teorema de la transformación lineal abierta. Este tema no se incluye en el examen.

Walter Rudin, Principles of mathematical analysis. Third edition. New York, McGraw-Hill, 1976.
Erwin Kreyszig, Introductory functional analysis with applications, 1978.
Andrei Kolmogórov y Sergei Fomin, Elementos de la teoría e funciones y del análisis funcional. Moscú, Mir, 1972.

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