Álgebra II (Introducción al Álgebra Lineal),
Licenciatura en física y matemáticas, ESFM del IPN

El programa (temario) de la asignatura Álgebra II es enorme. Lo dividimos en 4 partes grandes:

  1. Operaciones con matrices. Sistemas de ecuaciones lineales.
  2. Espacios vectoriales. Bases y dimensión.
  3. Transformaciones lineales. Funcionales lineales.
  4. Permutaciones. Determinantes.

Por favor corrijan mi español y mis errores matemáticos.

Agradezco por varios consejos e ideas a mis colegas de la ESFM, especialmente a los profesores Myriam Rosalía Maldonado Ramírez, Eliseo Sarmiento Rosales, Flor de María Correa Romero y Sergio González Govea. Agradezco al estudiante Román Higuera García por muchas correcciones y observaciones.

Propósito de Álgebra Lineal: analizar propiedades de operadores lineales en espacios vectoriales de dimensión finita.

pdf Organización del curso y sistema de calificaciones.
pdf Primer conocimiento con transformaciones lineales.


Primera parte. Operaciones con matrices. Sistemas de ecuaciones lineales


Operaciones con matrices

«…Este grandísimo libro [de la naturaleza] … no se puede entender,
si primero no se aprende a entender la lengua, y conocer los caracteres en el cual son escritos.
Eso está escrito en lengua matemática…» (Galileo Galilei)

Empecemos a estudiar las letras de Álgebra Lineal.

apuntes ejercicios Propiedades de las operaciones algebraicas con números reales (repaso).
apuntes ejercicios Operaciones lineales en R3 y sus propiedades.
apuntes ejercicios Vectores con componentes definidas mediante fórmulas.
apuntes ejercicios Operaciones lineales en Rn.
apuntes ejercicios Operaciones lineales en Fn, donde F es un campo.
apuntes ejercicios Primer conocimiento de las combinaciones lineales y dependencias lineales.
apuntes ejercicios Sumas y sus propiedades básicas.
apuntes ejercicios Delta de Kronecker y sumas con la delta de Kronecker.
apuntes ejercicios Matrices con entradas definidas mediante fórmulas.
apuntes ejercicios Motivación de las operaciones con matrices.
apuntes ejercicios Definición de las operaciones con matrices.
ejercicios Operaciones con matrices en GNU Octave. Tema optativo.
ejercicios Problemas experimentales para divertirse con la multiplicación de matrices.
apuntes ejercicios Propiedades de las operaciones lineales con matrices.
apuntes ejercicios Propiedades de la multiplicación de matrices.
    La transformación lineal asociada a una matriz.
    Propiedades de la multiplicación de matrices, usando el concepto de transformaciones lineales.
apuntes ejercicios Matriz transpuesta.
apuntes ejercicios Matrices simétricas y antisimétricas.
apuntes ejercicios Multiplicación de matrices por vectores.
apuntes ejercicios Estructura del producto de matrices.
apuntes   Renglones y columnas del producto de matrices como combinaciones lineales de los renglones o columnas de los factores.
apuntes ejercicios La delta de Kronecker y la matriz identidad.
apuntes ejercicios Potencias no negativas de una matriz cuadrada.
apuntes   Polinomio de una matriz cuadrada.
apuntes ejercicios Definición de la matriz inversa. Matrices invertibles.
apuntes ejercicios Matrices triangulares.
apuntes ejercicios Matrices diagonales.
 
tarea Tarea individual 1. Tema: Operaciones con matrices. Versión antigua.
A cada estudiante le corresponde su propia variante que se puede encontrar por las letras iniciales de los apellidos y nombres. Por ejemplo, Wilfrido Hugo Yáñez Hernández tendría que resolver la variante YHWH.
problemas Problemas teóricos para examen. Tema: Operaciones con matrices.
adicionales Tareas adicionales. Tema: Operaciones con matrices.


Sistemas de ecuaciones lineales

apuntes   Sistemas de ecuaciones lineales. Introducción.
apuntes   Operaciones elementales.
apuntes   Eliminación de Gauss–Jordan en el caso de sistemas compatibles determinados.
apuntes   Matrices escalonadas y escalonadas reducidas.
apuntes   Análisis y solución de sistemas de ecuaciones lineales en el caso general.
apuntes   Matrices pseudoescalonadas y pseudoescalonadas reducidas.
apuntes   Sistemas de ecuaciones lineales homogéneas.
apuntes   Sistemas de ecuaciones lineales con parámetros.

Matrices elementales forman un puente entre los algoritmos y la teoría de Álgebra Lineal.
En particular, estas matrices permiten pasar del algoritmo de eliminación de Gauss al criterio de invertibilidad de una matriz.

apuntes   Matrices elementales.
apuntes   Descomposición de una matriz cuadrada en un producto de matrices elementales.
apuntes   Criterio de invertibilidad de una matriz cuadrada en términos de matrices elementales.
apuntes   Ecuaciones matriciales AX=B y XA=B. Cálculo de la matriz inversa.
  ejercicios Matrices inversas a las matrices triangulares.
apuntes   Análisis de redes eléctricas simples. Tema optativo.
  ejercicios Comprobar la solución de sistemas de ecuaciones lineales con ayuda de GNU Octave. Tema optativo.
 
tarea Tarea individual 2. Tema: Sistemas de ecuaciones lineales, ecuaciones matriciales. Versión antigua.
problemas Problemas teóricos para examen. Tema: Sistemas de ecuaciones lineales. Ecuaciones matriciales.
adicionales Tareas adicionales. Tema: Sistemas de ecuaciones lineales. Ecuaciones matriciales.


pdf Primer examen parcial. Matrices. Sistemas de ecuaciones lineales.


Segunda parte. Espacios vectoriales. Bases y dimensión


Espacios vectoriales


«Las teorías vienen y se van, y los ejemplos se quedan.» (Izrail Gélfand)
Antes de dar la definición axiomática del espacio vectorial es importante conocer algunos ejemplos.
    Espacio Rn (repaso breve).
    Espacio Fn, donde F es un campo (repaso breve).
apuntes   Vectores en el plano euclidiano con el punto inicial fijo. Espacio V2(O).
apuntes   Vectores libres en el plano euclidiano. Espacio V2. (Este tema es opcional y no se incluye en el examen.)

Ahora estamos preparados para estudiar espacios vectoriales abstractos.
 
apuntes   Definición de espacio vectorial. Corolarios simples de los axiomas.
apuntes   Ejemplos de espacios vectoriales. Contraejemplos.
apuntes   Subespacios de espacios vectoriales.
apuntes   Subespacio generado por un conjunto finito de vectores (envoltura lineal de un conjunto finito de vectores).
apuntes   Descripción del subespacio generado por algunos vectores de Rn con un sistema de ecuaciones lineales homogéneas.
apuntes   Suma de subconjuntos de un espacio vectorial.
apuntes   Intersección y suma de subespacios.
apuntes   Suma directa de subespacios.
apuntes   Listas de vectores y conjuntos de vectores (explicación para las personas que ya saben Álgebra Lineal).
apuntes   Dependencia lineal (listas de vectores linealmente dependientes e independientes).
apuntes   Criterio de dependencia lineal.
apuntes   Propiedades de la dependencia lineal (propiedades de listas de vectores linealmente dependientes).
apuntes   Teorema fundamental de la dependencia lineal.
 
tarea Tarea individual 3. Tema: Espacios vectoriales. Versión antigua.
problemas Problemas teóricos para examen. Tema: Espacios vectoriales. Subespacios. Dependencia lineal.


Bases y dimensión

apuntes   Bases de un espacio vectorial.
apuntes   Coordenadas de un vector respecto a una base.
apuntes   Correspondencia entre vectores y columans de sus coordenadas respecto a una base fija.
apuntes   Construcción de una base del conjunto solución de un sistema de ecuaciones lineales homogéneas.
apuntes   Construcción de bases de subespacios (ejemplos).
apuntes   Sublista básica y rango de una lista de vectores.
apuntes   Descripción de bases por sus propiedades extremales.
apuntes   Dimensión. Espacios vectoriales de dimensión finita.
apuntes   Cambio de base.
apuntes   Cambio de base del plano (ejemplo geométrico).
apuntes   Isomorfismos de espacios vectoriales. Espacios vectoriales isomorfos.
apuntes   Dimensión del subespacio.
apuntes   Rango de una matriz.
apuntes   Cálculo del rango de una matriz.
apuntes   Construcción de una sublista básica de una lista de vectores (ejemplos).
apuntes   Rango del producto. Criterio de invertibilidad de una matriz cuadrada en términos de su rango.
apuntes   Dimensión de la suma y de la intersección de subespacios (fórmula de Grassmann).
apuntes   Construcción de bases en la suma y la intersección de subespacios (ejemplo).
apuntes   Teorema de Kronecker–Capelli (criterio de la consistencia de un sistema de ecuaciones lineales).
 
tarea Tarea individual 4. Tema: Bases y dimensión. Versión antigua.
problemas Problemas teóricos para examen. Tema: Bases y dimensión.


pdf Segundo examen parcial. Espacios vectoriales.


Tercera parte. Transformaciones lineales. Funcionales lineales


Transformaciones lineales

apuntes   Transformaciones lineales (= operadores lineales).
apuntes   Operaciones con transformaciones lineales.
apuntes ejercicios Matriz asociada a una transformación lineal.
apuntes   Cálculo de la matriz asociada a una transformación lineal (ejemplos).
  ejercicios Matriz asociada al operador de rotación en el plano.
apuntes   Cambio de la matriz asociada a una transformación lineal al cambiar las bases del dominio y del contradominio.
apuntes   Correspondencia entre transformaciones lineales y matrices.
apuntes   Núcleo e imagen de una transformación lineal.
apuntes   Construcción de bases del núcleo y de la imagen de una transformación lineal.
apuntes   Nulidad y rango (dimensiones del núcleo y de la imagen) de una transformación lineal.
apuntes   Ejemplo de una proyección en R3.
apuntes   Transformaciones lineales invertibles (no singulares).
apuntes   Isomorfismos. Espacios vectoriales isomorfos.
 
tarea Tarea individual 5. Tema: Transformaciones lineales. Versión antigua.
problemas Problemas teóricos para examen. Tema: Transformaciones lineales.


Funcionales lineales

apuntes   Funcionales lineales.
    Forma general de funcionales lineales en los espacios de matrices y polinomios.
apuntes   Espacio dual a un espacio vectorial.
apuntes   Base dual.
    Construcción de base duales a bases de Rn.
apuntes   Coordenadas de funcionales lineales respecto a la base dual (ejemplos).
apuntes   Cambio de las coordenadas de un funcional lineal al cambiar la base del espacio.
apuntes   Espacio bidual a un espacio vectorial.
apuntes   Anuladores.
apuntes   Ejemplos de construcción de bases en anuladores.
 
tarea Tarea individual 6. Tema: Funcionales lineales. Versión antigua.
problemas Problemas teóricos para examen. Tema: Funcionales lineales.


pdf Tercer examen parcial. Transformaciones lineales. Funcionales lineales.


Cuarta parte. Permutaciones. Determinantes


Permutaciones

Para estudiar determinantes necesitamos algunos conocimientos de permutaciones.
El estudio de las permutaciones ayudará también en la teoría de grupos (Álgebra Moderna I).
apuntes ejercicios Permutaciones.
apuntes ejercicios Producto de permutaciones (composición de permutaciones).
apuntes   Grupo simétrico.
apuntes   Descomposición de permutaciones en ciclos disjuntos.
apuntes   Cambio de la estructura cíclica de una permutación al multiplicarla por una transposición.
apuntes   Descomposición de una permutación en transposiciones.
    Multiplicación de una permutación por una transposición simple.
apuntes   Descomposición de una permutación en transposiciones simples.
apuntes   Signo de una permutación.
apuntes   Subgrupo alternante. Construcción de biyecciones entre permutaciones pares e impares.
apuntes   Funciones antisimétricas.
 
tarea Tarea individual 7. Tema: Permutaciones. Versión antigua.
problemas Problemas teóricos para examen. Tema: Permutaciones.
problemas Problemas teóricos adicionales. Tema: Permutaciones.


Determinantes

El determinante de una matriz cuadrada de orden n es un escalar que se puede calcular por ciertas reglas.
Del punto de visto geométrico, el determinante es el volumen orientado de un paralelepípedo n-dimensional.
Algebráicamente, es una forma n-lineal alternante de los renglones (o de las columnas) de la matriz.
Nosotros vamos a definir el determinante de manera explícita, como cierta suma de n! sumandos, donde cada sumando corresponde a una permutación.
Determinantes tienen muchas aplicaciones, por ejemplo: el criterio de la invertibilidad de una matriz,
el jacobiano que se usa para hacer un cambio de variables en una integral multidimensional.
apuntes   Definición de determinante (presentación).
apuntes   Determinante como una función n-lineal alternante (presentación).
apuntes   Determinante y operaciones elementales.
apuntes   Determinante del producto.
apuntes   Determinante de una matriz triangular por bloques.
apuntes   Menores y cofactores. Expansión del determinante por cofactores.
apuntes   Cálculo de determinantes numéricos.
apuntes   Cálculo de determinantes simbólicos.
apuntes   Matriz adjunta clásica (matriz de cofactores transpuesta) de una matriz cuadrada.
apuntes   Criterio de invertibilidad de una matriz cuadrada en términos de su determinante.
apuntes   Regla de Cramer.
apuntes   Determinante de Vandermonde y su aplicación a la interpolación polinomial.
apuntes   Interpretación de los determinantes como área y volumen (tema adicional).
apuntes   Rango y menores de una matriz (tema adicional).
tarea Tarea individual 8. Tema: Determinantes. Versión antigua. Versión antigua.
Compuse los ejercicios junto con Sadi Manuel Ramírez González.
problemas Problemas teóricos para examen. Tema: Determinantes.
Compuse los problemas con ayuda de Sadi Manuel Ramírez González.
problemas adicionales Problemas teóricos adicionales. Tema: Determinantes.




Examen extraordinario y examen a título de suficiencia

pdf Guía del examen extraordinario de Álgebra II.
pdf Guía del examen a título de suficiencia de Álgebra II.


Literatura principal

  1. S. Lipschutz and M. Lipson, Schaum's outline of theory and problems of linear algebra. Third edition. McGraw-Hill, 2001.
    Preview (Google Books)
  2. S. H. Friedberg, A. J. Insel, and L. E. Spence, Álgebra lineal. Cuarta edición.

Literatura adicional

  1. Sheldon Axler, Linear Algebra Done Right. Second Edition. Springer, 2004.
  2. Sergei Treil, Linear Algebra Done Wrong.
    http://www.math.brown.edu/~treil/papers/LADW/LADW.html
  3. J. T. Moore, Elements of Linear Algebra and Matrix Theory. McGraw-Hill (New York), 1968.
  4. K. Hoffman and R. Kunze, Linear algebra. Second edition.
    Prentice-Hall, Englewood Cliffs, New Jersey, 1971.
  5. I. M. Gel'fand, Lectures on Linear Algebra. Interscience (New York), 1961.
  6. L. J. Paige, J. D. Swift, T. A. Slobko, Elementos de álgebra lineal. Segunda edición. 1982. 399 páginas.
    Preview (Google Books)
  7. H. Anton, Álgebra lineal. Cuarta edición. Limusa, 2009. 728 p. il.


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