Métodos Numéricos I, agosto–diciembre de 2014
Ingeniería Matemática, ESFM del IPN

(Por favor corrijan mis errores.)

El programa de la asignatura Métodos Numéricos I se divide en 4 partes:

  1. Temas preliminares.
  2. Solución de sistemas de ecuaciones lineales.
  3. Raíces de ecuaciones no lineales.
  4. Interpolación polinomial.


essay Lloyd N. Trefethen, The definition of numerical analysis.
Numerical analysis is the study of algorithms for the problems of continuous mathematics.
pdf Panorama del curso (presentación).

Temas preliminares

  Primero necesitamos repasar ciertas operaciones con polinomios.
pdf Multiplicación de polinomios.
present video Multiplicación de polinomios por binomios mónicos (presentación).
  División de polinomios.
present video Regla de Ruffini en acción, división de un polinomio entre un binomio mónico, división sintética (presentación).
pdf Algoritmo de Ruffini–Horner para dividir un polinomio entre un binomio mónico, con explicación.
pdf video Construcción de polinomios con raíces dadas (presentación).
  Vamos a estudiar cómo se representan números en una computadora.
pdf Representación de números en el sistema binario.
pdf Operaciones aritméticas en el sistema binario.
pdf Representación de números enteros en una computadora. Formatos int8, int16, int32 e int64. Complemento a dos.
pdf Notación científica.
pdf Sistemas numéricos de punto flotante. Formatos float32 y float64.
pdf Formato float32 (binary32).
  Primer conocimiento: errores de redondeo y la aritmética con redondeo.
pdf Errores absolutos y relativos.
pdf Redondeo al entero más cercano.
pdf Ejemplos de redondeo.
pdf Errores de redondeo. Aritmética con redondeo.
pdf Propagación de errores.
pdf Cancelación catastrófica.
  Vamos a repasar algunas herramientas de cálculo.
pdf Repaso de herramientas de cálculo (presentación).
pdf Propiedades de las funciones continuas. Teorema del valor intermedio.
  Propiedades de las funciones derivables. Teorema del valor medio.
pdf Funciones Lipschitz continuas.
  Temas de las clases prácticas (programación).
WM Programación: Introducción al sistema Wolfram Mathematica.
WM Programación: Ciclos y otros elementos de programación en Wolfram Mathematica.
WM Octave Programación: Multiplicación de un polinomio por un binomio.
WM Octave Programación: División de un polinomio entre un binomio.
prog Programación: Evaluación de un polinomio en un punto con varios algoritmos.
WM Programación: Punto flotante y épsilon de la máquina.
prog Programación: Multiplicación de polinomios (tarea optativa).
  Tarea individual, problemas teóricos y guía del examen.
pdf Primera tarea individual (Temas preliminares).
Última fecha para entregar: 1 de septiembre de 2014.
pdf Lista de problemas para el primer examen parcial (Temas preliminares).
pdf Guía del primer examen parcial (Temas preliminares).

Solución de sistemas de ecuaciones lineales

apuntes Vectores y matrices.
  Producto de una matriz por un vector.
  Producto de dos matrices.
  Matrices triangulares.
apuntes Producto de matrices triangulares por vectores y el número de las operaciones de multiplicación.
ejercicios Sumas triangulares inferiores e intercambio de sumatorias (ejercicios pequeños).
ejercicios Producto de matrices triangulares superiores (ejercicios pequeños).
ejercicios Matrices inversas de las matrices triangulares superiores (ejercicios pequeños).
apuntes Solución de sistemas de ecuaciones lineales con matrices triangulares.
apuntes Solución por medio de la eliminación gaussiana.
present video Ejemplo de elección de un elemento pivote con varias estrategias de pivoteo (presentación).
apuntes Estrategias de pivoteo.
apuntes Matrices elementales.
apuntes Descomposición de una matriz invertible en un producto de matrices elementales.
apuntes Factorización LU de matrices.
presentación Factorización LU de matrices.
present video Factorización LU en acción (ejemplo de orden 3).
apuntes Unicidad de la factorización LU (ejercicios pequeños).
apuntes Matrices de permutaciones.
presentación Matrices de permutaciones.
present video Ejemplo de factorización PLU (presentación).
apuntes Factorización PLU de matrices.
apuntes Número de operaciones en la eliminación de Gauss.
apuntes Métodos iterativos de Jacobi y de Gauss–Seidel.
  Normas de vectores y matrices.
apuntes Análisis de redes eléctricas simples.
  Temas de las clases prácticas (programación).
ejercicios Programación: Operaciones con matrices en Wolfram Mathematica.
ejercicios Programación: Multiplicación de matrices por vectores.
ejercicios Programación: Solución de sistemas de ecuaciones lineales con matrices unitriangulares inferiores.
ejercicios Programación: Solución de sistemas de ecuaciones lineales con matrices triangulares inferiores.
ejercicios Programación: Solución de sistemas de ecuaciones lineales con matrices triangulares superiores.
ejercicios Programación: Sistemas tridiagonales de ecuaciones lineales.
ejercicios Programación: Programación: Operaciones elementales por renglones.
ejercicios Programación: Primer paso de la eliminación de Gauss.
ejercicios Programación: Segundo paso de la eliminación de Gauss.
ejercicios Programación: Eliminación de Gauss con pivotes diagonales.
ejercicios Programación: Estrategias de pivoteo en la eliminación de Gauss.
ejercicios Programación: Factorización LU.
ejercicios Programación: Métodos iterativos de Jacobi y Gauss–Seidel.
  Tarea individual, problemas teóricos y guía del examen.
tarea Segunda tarea individual (Solución de sistemas de ecuaciones lineales). Versión actual.
problemas Lista de problemas para el segundo examen parcial (Matrices y sistemas de ecuaciones lineales).

Raíces de ecuaciones no lineales

apuntes Puntos fijos de funciones contractivas.
ejercicios Ejemplos de aplicación del método del punto fijo (verificación de las condiciones).
apuntes Ejercicios: análisis de una función contractiva.
apuntes Introducción: Raíces de ecuaciones no lineales.
apuntes Método de bisección.
apuntes Métodos de la secante y de la regla falsa.
apuntes Método de Newton–Raphson (método de la tangente).
apuntes Método de Newton–Raphson como un caso particular del método de punto fijo.
apuntes Órdenes de convergencia. Condiciones suficientes para la convergencia lineal y cuadrática del método del punto fijo.
apuntes Aceleración de convergencia. Método Δ2 de Aitken. Método de Steffensen.
apuntes Raíces de polinomios. Método de Newton.
apuntes Método de Müller.
  Temas de las clases prácticas (programación).
prog Programación: Ejemplos para el método de punto fijo.
prog Programación: Método de la iteración de punto fijo.
prog Programación: Método de bisección.
  Programación: Métodos de la secante y de la posición falsa (tarea optativa).
prog Programación: Método de Newton–Raphson.
prog Programación: Método babilónico para calcular raíces cuadradas.
  Programación: Método de Steffensen (tarea optativa).
prog Programación: Método de Newton–Raphson para los polinomios.
  Programación: Método de Müller (tarea optativa).

Interpolación polinomial

present video apuntes Introducción a la interpolación polinomial.
Reducción a un sistema de ecuaciones lineales.
present video apuntes Existencia y unicidad del polinomio interpolante, con ayuda de Vandermonde.
present video apuntes Polinomios básicos de Lagrange.
present video apuntes Fórmula de Lagrange para el polinomio interpolante.
apuntes Error de la interpolación polinomial.
apuntes Fórmulas recursivas de Neville para el polinomio interpolante (método de Neville).
present video   Diferencias divididas de primer orden.
  Diferencias divididas.
apuntes Diferencias divididas. Fórmula de Newton para el polinomio interpolante.
apuntes Polinomio interpolante en diferencias progresivas.
apuntes Polinomio interpolante en diferencias regresivas.
apuntes Interpolación segmentaria lineal (splines lineales).
apuntes Interpolación segmentaria cúbica (splines cúbicos).
  Curvas de Bezier.
apuntes Curvas paramétricas.
apuntes Interpolación de Hermite.
  Temas de las clases prácticas (programación).
prog Programación: Construcción del polinomio interpolante por la fórmula de Lagrange.
prog Programación: Construcción del polinomio interpolante con el método de Newton.
prog Programación: Interpolación segmentaria lineal (splines lineales).
prog Programación: Interpolación segmentaria cúbica (splines cúbicos).
  Programación: Algoritmo de Neville (tarea optativa).
WM Octave Tarea práctica. Tema: Aplicación de la interpolación polinomial.
Agradezco al profesor Erick Lee Guzmán por la idea de esta tarea.
  Soluciones de los estudiantes:
  • pdf  Gerardo Espinosa Escalona.
  • pdf  Rodrigo Rivera Estrada.
  • pdf  Rubí Espinosa Miranda.
  Tarea individual, problemas teóricos y guía del examen.
pdf Tarea individual 3 (Interpolación polinomial). Versión actual.
pdf Lista de problemas para el tercer examen parcial (Interpolación polinomial).
pdf Tercer examen parcial (Interpolación polinomial).


guía Guía del Examen Extraordinario y del Examen a Título de Suficiencia.
Incluye la lista de problemas teóricos y algoritmos principales.

Literatura

  1. Trefethen, Lloyd N. (2006). Numerical analysis.

  2. R. L. Burden y J. D. Faires, Análisis Numérico, Quinta Ed. Thomson, México, 768 páginas, QA297, 387. Co., Boston, Massachusetts, USA, 768 p., QA297, 385.

  3. Cheney, Ward and Kincaid, David, Numerical Mathematics and Computing, Brooks/Cole: Cengage Learning, 2013.
    ISBN-13: 978-1-133-10371-4.

  4. Allen, Richar C., On Introduction Numerical Computing, Cuarta Ed. WB Sauders Company 1973, Philadelphia, 258 p., QA297, 545.

  5. Smith, W. Allen, Análisis Numérico. Prentice Hall Hispanoamericana, Ed. México, 608 p., QA297, 554.


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