Análisis Numérico I
Licenciatura en Física y Matemáticas, ESFM del IPN

La asignatura Análisis Numérico I se podría llamar Introducción al Álgebra Lineal Numérica. Dividimos el programa de la asignatura en 6 partes:

  1. Operaciones con vectores y matrices.
  2. Matrices triangulares y factorización LU.
  3. Matrices ortogonales y factorización QR.
  4. Normas matriciales. Métodos iterativos.
  5. Métodos de gradiente y de gradiente conjugado.
  6. Valores y vectores propios.

En las partes 2 y 3 estudiamos métodos directos para resolver sistemas de ecuaciones lineales, y en las partes 4 y 5 se estudiamos métodos iterativos para resolver sistemas de ecuaciones lineales.

(Por favor corrijan mis errores.)



Introducción

Propósito de la asignatura: analizar algoritmos típicos de álgebra lineal, optimizando la rapidez y la precisión.

pdf Prerrequisitos de la asignatura.
pdf Examen de conocimientos previos.
pdf Organización de la asignatura.
essay Lloyd N. Trefethen, The definition of numerical analysis.
Numerical analysis is the study of algorithms for the problems of continuous mathematics.
liga Lenguaje de programación recomendado: MATLAB o alguno de sus análogos libres.
zip Ejemplo simple de programación con vectores y matrices en el lenguaje de MATLAB.
liga El lenguaje Julia hereda varias ideas de MATLAB y de Python, pero es compilable y por eso muy rápido.
cpp Ejemplo simple de programación con vectores y matrices en C++.
c.zip Ejemplo simple de programación con vectores en C.

Algunas clases de matrices especiales

Desde el inicio del curso cada estudiante tiene que elegir su clase de matrices especiales para realizar varias tareas con estas matrices.

tareas Tareas de matices especiales (se hacen por equipos).
tex pdf Matrices tridiagonales. Esta clase de matrices sirve como modelo y no se puede elegir para hacer la tarea.
tex pdf Matrices de Toeplitz y su relación con matrices circulantes.
tex pdf Matrices de Laplace–Dirichlet asociadas a mallas rectangulares (discretización de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales sobre dominios rectangulares).
tex pdf Matrices de sistemas de ecuaciones para calcular los coeficientes de interpolación polinomial segmentaria de quinto grado (quintic splines).
Se recomienda repasar los conceptos de interpolación segmentaria lineal e interpolación segmentaria cúbica.
tex pdf Matrices correspondientes a filtros unidimensionales de imágenes.
tex pdf Matrices reales simétricas de banda.
tex pdf Matrices de Laplace–Dirichlet para una clase de árboles.
  Matrices de sistemas de ecuaciones para calcular los coeficientes de B-splines de grados 3, 4, 5.
  Matrices pentadiagonales que surgen al discretizar algunas ecuaciones diferenciales ordinarias.


Operaciones con vectores y matrices

  Conceptos básicos de vectores y matrices (repaso).
  Producto de una matriz por un vector (repaso).
  Producto de dos matrices (repaso).
  Matrices diagonales (repaso).
  Matrices triangulares (repaso).
apuntes Producto de matrices triangulares por vectores y el número de las operaciones de multiplicación.
ejercicios Producto de matrices triangulares superiores (ejercicios pequeños).
  Operaciones elementales y matrices elementales (repaso).
present apuntes Matrices de permutaciones.
  Temas de las clases prácticas (programación).
ejercicios Programación: Construcción de vectores cuyas componentes están dadas por ciertas reglas.
ejercicios Programación: Construcción de arreglos pseudoaleatorios en MATLAB.
ejercicios Programación: Operaciones lineales con vectores (operación axpy).
ejercicios Programación: Producto punto de dos vectores.
ejercicios Programación: Producto de dos vectores por componentes.
ejercicios Programación: Producto diádico de dos vectores.
  Programación: Construcción de matrices cuyas entradas están dadas por ciertas reglas.
ejercicios Programación: Multiplicación de matrices por vectores.
ejercicios Programación: Multiplicación de una matriz por un vector usando la operación axpy.
  Programación: Multiplicación de matrices triangulares por vectores.
  Programación: Multiplicación de dos matrices usando el producto punto.
  Programación: Multiplicación de dos matrices usando operaciones lineales con columnas (tema optativo).
  Programación: Multiplicación de dos matrices usando el producto diádico (tema optativo).
  Tarea individual y lista de problemas teóricos.
tarea Tarea individual. Operaciones con vectores y matrices. Versión antigua.
problemas Lista de problemas teóricos. Operaciones con vectores y matrices.


Sistemas con matrices triangulares y factorización LU

apuntes Solución de sistemas de ecuaciones lineales con matrices triangulares.
apuntes Solución de sistemas de ecuaciones lineales con matrices triangulares, usando operaciones por columnas.
apuntes Las matrices inversas de las matrices triangulares tambión son triangulares.
ejercicios Matrices inversas de las matrices triangulares superiores (ejercicios pequeños).
  Operaciones elementales y matrices elementales (repaso).
  Eliminación Gaussiana con pivotes diagonales.
apuntes Descomposición de una matriz invertible en un producto de matrices elementales.
present apuntes Descomposición LU. Deducción del algoritmo por medio de matrices elementales.
present video Factorización LU en acción (ejemplo de orden 3).
ejercicios Unicidad de la factorización LU (ejercicios pequeños).
apuntes Sistemas con matrices simétricas positivas definidas. Descomposición de Cholesky.
present apuntes Matrices de permutaciones.
present video apuntes Ejemplo de elección de un elemento pivote con varias estrategias de pivoteo.
present video apuntes Factorización PLU.
  Temas de las clases prácticas (programación).
ejercicios Programación: Solución de sistemas de ecuaciones lineales con matrices unitriangulares inferiores.
ejercicios Programación: Solución de sistemas de ecuaciones lineales con matrices triangulares inferiores.
ejercicios Programación: Solución de sistemas de ecuaciones lineales con matrices triangulares superiores.
apuntes Programación: Solución de sistemas de ecuaciones lineales con matrices triangulares, usando operaciones por columnas.
ejercicios Programación: Sistemas tridiagonales de ecuaciones lineales.
ejercicios Programación: Operaciones elementales por renglones.
ejercicios Programación: Primer paso de la eliminación de Gauss.
ejercicios Programación: Segundo paso de la eliminación de Gauss.
ejercicios Programación: Eliminación de Gauss con pivotes diagonales.
ejercicios Programación: Factorización LU.
ejercicios Programación: Estrategias de pivoteo en la eliminación de Gauss.
  Programación: Factorización PLU.
  Tarea individual y lista de problemas teóricos.
tarea Tarea individual. Matrices triangulares y descomposicón LU. Versión antigua.
problemas Lista de problemas teóricos. Matrices triangulares y descomposicón LU.


  examen   Guía del primer examen parcial.


Matrices ortogonales y descomposición QR

apuntes Matrices ortogonales. Criterio en términos de renglones y columnas.
  Matrices ortogonales. Criterio en términos de producto interno, norma y distancia.
ejercicios Rotaciones del plano.
  Cálculo de la rotación de Givens.
apuntes Proyección ortogonal sobre una recta.
ejercicios Proyección ortogonal sobre un subespacio generado por un vector normalizado.
  Proceso de Gram–Schmidt.
  Proceso de Gram–Schmidt equivale a la descomposición QR.
apuntes Reflexión ortogonal respecto a un hipersubespacio.
apuntes Reflecciones (transformaciones) de Householder.
  Descomposición QR usando reflectores de Householder.
  Descomposición QR usando rotaciones de Givens.
  Solución de sistemas de ecuaciones lineales por medio de la descomposición QR.
apuntes Solución del problema de mínimos cuadrados.
apuntes Matrices para el ajuste polinomial y trigonométrico.
apuntes Ajuste polinomial y trigonométrico.
  Temas de las clases prácticas (programación).
ejercicios Programación: Proyección ortogonal sobre la recta generada por un vector no nulo.
ejercicios Programación: Reflección ortogonal respecto a un hipersubespacio.
ejercicios Programación: Construcción del vector que define la reflección de Householder.
  Programación: Rotación en dos coordenadas.
prog Programación: Construcción de la rotación de Givens.
ejercicios Programación: El método modificado de Gram–Schmidt para tres vectores.
ejercicios Programación: Descomposición QR reducida con el método modificado de Gram–Schmidt.
ejercicios Programación: Descomposición QR usando reflexiones de Householder.
  Programación: Descomposición QR usando rotaciones de Givens (tema optativo).
ejercicios Programación: Comparación de varios métodos que realizan la descomposición QR.
ejercicios Programación: Solución de sistemas de ecuaciones lineales con la descomposición QR.
prog Programación: Solución del problema de mínimos cuadrados por medio de la descomposición QR.
prog Programación: Construcción de la matriz de Vandermonde.
prog Programación: Construcción de la matriz para evaluar polinomios trigonométricos en puntos dados.
código Ejemplo de combinar GNU Octave con TikZ.
  Tarea individual y lista de problemas teóricos.
tarea Tarea individual. Tema: Matrices ortogonales y descomposición QR.
Versión actual (primavera del 2017).
tarea Tarea individual. Ajuste de datos con mínimos cuadrados.
problemas Lista de problemas teóricos. Tema: Matrices ortogonales y descomposición QR.



  examen   Guía del segundo examen parcial.


Normas matriciales, introducción a métodos iterativos

  Normas de vectores en Rn (repaso).
apuntes Normas matriciales inducidas por normas vectoriales.
apuntes Norma matricial inducida por la norma-máximo.
apuntes Norma matricial inducida por la 1-norma vectorial.
  Norma matricial inducida por la 2-norma vectorial.
  Radio espectral.
apuntes Teorema de Banach del punto fijo.
  Iteraciones lineales y su convergencia.
  Método de Gauss–Seidel y de Jacobi.
apuntes Convergencia del método de Jacobi para matrices estrictamente diagonal dominantes.
  Comparación de los métodos según su convergencia, ejemplos.
  Métodos de relajación (tema optativo).
  Temas de las clases prácticas (programación).
ejercicios Programación: Normas en Rn.
ejercicios Programación: Normas matriciales asociadas a las normas vectoriales inf y 1.
ejercicios Programación: Método babilónico para calcular raíces cuadradas.
  Programación: Métodos de Jacobi y de Gauss–Seidel en coordenadas.
ejercicios Programación: Método de Jacobi en forma matricial.
ejercicios Programación: Método de Gauss–Seidel en forma matricial.
  Tarea individual y problemas teóricos.
  Lista de problemas teóricos. Normas matriciales, introducción a métodos iterativos. Todavía no está escrita.


  Guía del segundo examen parcial. Todavía no está escrita.


Método de gradiente conjugado

apuntes Fórmula para el gradiente de una forma cuadrática.
apuntes De la solución de un sistema de ecuaciones lineales a la minimización de una forma cuadrática.
apuntes Minimización de una forma cuadrática sobre una recta.
apuntes Método del gradiente (método del descenso en el sentido del antigradiente, máximo descenso).
apuntes Método de direcciones conjugadas y su convergencia.
apuntes Método de gradiente conjugado, ortogonalidad de vectores.
  Temas de las clases prácticas (programación).
ejercicios Programación: El método iterativo con direcciones aleatorias y con un dibujo.
ejercicios Programación: Método de descenso en el sentido del antigradiente.
ejercicios Programación: Producto interno asociado a una matriz real simétrica positiva definida.
ejercicios Programación: Método iterativo con direcciones conjugadas.
ejercicios Programación: Método de gradiente conjugado.
ejercicios Programación: Comprobación de varias propiedades de vectores en el método de gradiente conjugado.
ejercicios Programación: Comparación de varios métodos iterativos.
  Tarea individual y problemas teóricos.
tarea Tarea individual. Normas matriciales, introducción a métodos iterativos. Versión antigua.
  Lista de problemas teóricos. Método de gradiente conjugado. Todavía no está escrita.

Valores y vectores propios

apuntes Ejemplo de descomposición en valores singulares de una matriz 2 por 2.
apuntes Ejemplo de descomposición en valores singulares de una matriz 2 por 3.
apuntes Descomposición en valores singulares: definición y propiedades elementales.
apuntes Existencia de una descomposición en valores singulares.
  Conceptos generales sobre el problema de valores propios.
  Cotas y localización de valores propios.
  Método de la potencia iterada.
  Deflación.
  Método para matrices simétricas: Jacobi, Givens, Householder.
  Métodos para matrices no-simétricas: Krylov, Danilewsky, Lanczos.
  Reducción a una forma de Hessenberg.
  Transformación LR y QR.


  Guía del tercer examen parcial. Todavía no está escrita.


examen Guía del examen extraordinario y del ETS.


Literatura principal

  1. Trefethen, Lloyd N. (2006). Numerical analysis (short essay).
  2. Watkins, David S., Fundamentals of Matrix Computations.
    Third Edition. Wiley, 2010.
    ISBN: 978-0-470-52833-4.
  3. Bau III, David; Trefethen, Lloyd N. Numerical linear algebra.
    Philadelphia: Society for Industrial and Applied Mathematics, 1997.

Literatura adicional

  1. Golub, Gene H.; Van Loan, Charles F., Matrix Computations.
    Third Edition. The Johns Hopkins University Press, 1996.
  2. Gastinel, Noel, Analyse Numerique Lineaire.
    Hermann, 1966.
  3. Faddeev, D. K.; Faddeeva, V. N., Computational Methods of Linear Algebra, 1963.
  4. R. L. Burden y J. D. Faires, Análisis Numérico.
  5. Householder, Alston S., Theory of Matrices in Numerical Analysis, 1964.
    Blaisdell publishing company, 1964. Republicated in 2006 by Dover.
  6. Programas de Métodos Numéricos I y de Análisis Numérico I y II en Licenciatura de Física y Matemáticas de la ESFM del IPN.




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