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\theoremstyle{definition}
\newtheorem{example}{Ejemplo}
\newtheorem{defn}{Definición}
\newtheorem{algorithm}{Algoritmo}

\newcommand{\medstrut}{\ensuremath{\vphantom{\int_{0_0}^{1^1}}}}
\newcommand{\bigstrut}{\ensuremath{\vphantom{\displaystyle\int}}}

\newcommand{\IntegerNumbers}{{\mathbb{Z}}}
\newcommand{\RationalNumbers}{{\mathbb{Q}}}
\newcommand{\RealNumbers}{{\mathbb{R}}}
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\newcommand{\nullvector}{\boldsymbol{0}}
\renewcommand{\Re}{\mathop{\mathrm{Re}}\nolimits}
\renewcommand{\Im}{\mathop{\mathrm{Im}}\nolimits}
\renewcommand{\phi}{\varphi}
\newcommand{\eps}{\varepsilon}

\DeclareMathOperator{\diag}{diag}
\DeclareMathOperator{\tr}{tr}
\DeclareMathOperator{\rank}{r}
\DeclareMathOperator{\imagunit}{i}
\DeclareMathOperator{\enumber}{e}
\newcommand{\matr}[2]{\left[\begin{array}{#1}#2\end{array}\right]}
\newcommand{\Matrices}[3]{\mathcal{M}_{#2\times #3}(#1)}
\newcommand{\SquareRealMatrices}[1]{\mathcal{M}_{#1}(\RealNumbers)}
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\begin{document}
\begin{center}
\bfseries\large Matrices asociadas a filtros unidimensionales simétricos
\end{center}

Estos apuntes están escritos por ???, ???, ???, con ayuda de Egor Maximenko
y Eduardo Said Merín Martínez.

\medskip
Se recomienda leer sobre el procesamiento de señales o imágenes.
Dado un vector $x\in\RealNumbers^n$, se calcula el vector $y\in\RealNumbers^n$
de tal manera que cada componente $y_j$ del vector $y$ es cierta suma ponderada
de las componentes $x_k$ de $x$, donde los pesos dependen solamente de $|j-k|$.
Por ejemplo, si se toman en cuenta solamente dos vecinos por la izquierda y dos vecinos por la derecha, entonces
\begin{equation}\label{yj}
y_j = w_2 x_{j-2} + w_1 x_{j-1} + w_0 + w_1 x_{j+1} + w_2 x_{j+2},
\end{equation}
donde $w_0,w_1,w_2$ son algunos coeficientes fijos.
En este caso $y_4$ se determina por los valores de $x_2,x_3,x_4,x_5,x_6$,
como muestra el siguiente esquema:
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\foreach \j in {1,2,3,4,5,6,7,8,9} {
  \node (x\j) at (0,7-\j) {$x_{\j}$};
  \node (y\j) at (5,7-\j) {$y_{\j}$};
}
\draw[-stealth] (x2)--(y4) node[midway,sloped,fill=white] {$\scriptstyle\times w_2$};
\draw[-stealth] (x3)--(y4) node[midway,sloped,fill=white] {$\scriptstyle\times w_1$};;
\draw[-stealth] (x4)--(y4) node[midway,sloped,fill=white] {$\scriptstyle\times w_0$};
\draw[-stealth] (x5)--(y4) node[midway,sloped,fill=white] {$\scriptstyle\times w_1$};;
\draw[-stealth] (x6)--(y4) node[midway,sloped,fill=white] {$\scriptstyle\times w_2$};;
\end{tikzpicture}
\end{center}
Se supone que la suma de los coeficientes en el lado derecho de \eqref{yj} es igual a $1$:
\[
w_0+2w_1+2w_2=1.
\]
Cerca de la fronteras la fórmula \eqref{yj} necesita ciertos ajustes,
porque originalmente las componentes $x_k$ del vector $x$ están definidas sólo para $k\in\{1,\ldots,n\}$.
Por ejemplo, se puede elegir el convenio que $x_k=0$ para $k\le 0$ y $x_k=0$ para $k\ge n+1$.

Hay que escribir el vector $y$ como $Ax$, donde $A$ es una matriz $n\times n$.
La matriz $A$ se determina solamente por el orden $n$ y por los pesos $w_0,w_1,w_2$.

\end{document}
