\documentclass[12pt]{article} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage[english,spanish]{babel} \decimalpoint \unaccentedoperators \usepackage[bookmarks=false,colorlinks = true,linkcolor = blue,urlcolor = blue,citecolor = blue,anchorcolor = blue]{hyperref} \usepackage[intlimits]{amsmath} \usepackage{amsfonts,amssymb,amsthm,extarrows} \usepackage[width=16cm,height=21cm]{geometry} \usepackage{graphicx} \usepackage{tikz} \usepackage{ifthen} \usepackage{enumerate} \usepackage{colortbl} \theoremstyle{definition} \newtheorem{example}{Ejemplo} \newtheorem{defn}{Definición} \newtheorem{algorithm}{Algoritmo} \newcommand{\medstrut}{\ensuremath{\vphantom{\int_{0_0}^{1^1}}}} \newcommand{\bigstrut}{\ensuremath{\vphantom{\displaystyle\int}}} \newcommand{\IntegerNumbers}{{\mathbb{Z}}} \newcommand{\RationalNumbers}{{\mathbb{Q}}} \newcommand{\RealNumbers}{{\mathbb{R}}} \newcommand{\ComplexNumbers}{{\mathbb{C}}} \newcommand{\nullvector}{\boldsymbol{0}} \renewcommand{\Re}{\mathop{\mathrm{Re}}\nolimits} \renewcommand{\Im}{\mathop{\mathrm{Im}}\nolimits} \renewcommand{\phi}{\varphi} \newcommand{\eps}{\varepsilon} \DeclareMathOperator{\diag}{diag} \DeclareMathOperator{\tr}{tr} \DeclareMathOperator{\rank}{r} \DeclareMathOperator{\imagunit}{i} \DeclareMathOperator{\enumber}{e} \newcommand{\matr}[2]{\left[\begin{array}{#1}#2\end{array}\right]} \newcommand{\Matrices}[3]{\mathcal{M}_{#2\times #3}(#1)} \newcommand{\SquareRealMatrices}[1]{\mathcal{M}_{#1}(\RealNumbers)} \newcommand{\markedcell}{\cellcolor[rgb]{0.7,1.0,0.7}} \begin{document} \begin{center} \bfseries\large Matrices de Laplace--Dirichlet\\asociadas a las mallas rectangulares \end{center} \medskip\noindent Estos apuntes están escritos por Daniel Hernández León, con ayuda de Egor Maximenko. \subsection*{Ejemplo $\boldsymbol{2\times 3}$} \medskip\noindent Consideremos el problema de calor sobre una malla rectangular $2\times 3$ ($p=2$, $q=3$): \begin{center} \begin{tikzpicture}[scale=2] \draw[black] (0,0) grid (2,1); \foreach \j/\k/\n in {1/0/1, 1/1/2, 1/2/3, 0/0/4, 0/1/5, 0/2/6} { \filldraw (\k,\j) circle (0.2mm); \node[above left] at (\k,\j) {$x_\n$}; } \foreach \k/\n in {0/1, 1/2} { \draw (-1,\k)--(0,\k); \filldraw (-1,\k) circle (0.2mm); \node[left] at (-1,\k) {$a_{\n}$}; } \foreach \j/\n in {0/3, 1/4, 2/5} { \draw (\j,1)--(\j,2); \filldraw (\j,2) circle (0.2mm); \node[above] at (\j,2) {$a_{\n}$}; } \foreach \k/\n in {1/6, 0/7} { \draw (2,\k)--(3,\k); \filldraw (3,\k) circle (0.2mm); \node[right] at (3,\k) {$a_{\n}$}; } \foreach \j/\n in {2/8, 1/9, 0/10 } { \draw (\j,-1)--(\j,0); \filldraw (\j,-1) circle (0.2mm); \node[below] at (\j,-1) {$a_{\n}$}; } \end{tikzpicture} \end{center} En cada uno de los nodos $x_j$ consideramos la ecuación discretizada de Laplace (la ecuación de calor). Se busca una solución estancionaria, cuando los valores $x_j$ no dependen del tiempo. Por ejemplo, en el nodo $x_1$ la ecuación será \[ (x_1-a_2)+(x_1-a_3)+(x_1-x_2)+(x_1-x_4)=0. \] Los números $a_k$ están dados, y los pasamos al lado derecho de la ecuación: \[ 4x_1 -x_2 - x_4 = a_2 + a_3. \] Procediendo de esta manera obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones para las incógnitas $x_1,\ldots,x_6$: \begin{align*} 4x_1 - x_2 - x_4 &= a_2 + a_3, \\ 4x_2 - ??? &= ???, \\ 4x_3 - ??? &= ???, \\ 4x_4 - ??? &= ???, \\ 4x_5 - ??? &= ???, \\ 4x_6 - ??? &= ???. \end{align*} Este sistema de ecuaciones se puede escribir en forma matricial. Ahora nos fijamos solamente en la matriz del sistema. La matriz es cuadrada y de orden $n=6$: \begin{equation}\label{matrix23} A^{(2,3)}= \matr{rrrrrr}{ 4 & -1 & 0 & -1 & 0 & 0 \\ -1 & 4 & -1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & -1 & 4 & 0 & 0 & -1 \\ ? & ? & ? & ? & ? & ? \\ ? & ? & ? & ? & ? & ? \\ ? & ? & ? & ? & ? & ? }. \end{equation} Para entender la construcción de la matriz, es más cómodo fijarse no en los nodos de la malla, sino en las aristas. Por ejemplo, la arista que une los nodos $x_1$ y $x_4$ corresponde a los sumandos $x_1-x_4$ en la primera ecuación y a los sumandos $x_4-x_1$ en la cuarta ecuación. En otras palabras, la arista $\{1,4\}$ hace la siguiente contribución a la matriz: \[ \matr{rrrrrr}{ +1 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & +1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 }. \] La arista $\{2,3\}$ hace la siguiente contribución a la matriz: \[ \matr{rrrrrr}{ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & +1 & -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & +1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 }. \] La arista que une los nodos $x_1$ y $a_2$ hace la siguiente contribución a la matriz: \[ \matr{rrrrrr}{ +1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 }. \] Al sumar las matrices de esta forma que corresponden a todas las aristas, se obtiene \eqref{matrix23}. \clearpage \subsection*{Ejemplo $\boldsymbol{4\times 3}$} \medskip\noindent Para $p=4$ y $q=3$ la malla es \begin{center} (hay que copiar y modificar el dibujo anterior) \end{center} La matriz de Laplace--Dirichlet es \begin{equation}\label{matrix43} A^{(4,3)}= \matr{rrrrrrrrrrrr}{ ? & ? & ? & ? & ? & ? & ? & ? & ? & ? & ? & ? \\ ? & ? & ? & ? & ? & ? & ? & ? & ? & ? & ? & ? \\ ? & ? & ? & ? & ? & ? & ? & ? & ? & ? & ? & ? \\ ? & ? & ? & ? & ? & ? & ? & ? & ? & ? & ? & ? \\ ? & ? & ? & ? & ? & ? & ? & ? & ? & ? & ? & ? \\ ? & ? & ? & ? & ? & ? & ? & ? & ? & ? & ? & ? \\ ? & ? & ? & ? & ? & ? & ? & ? & ? & ? & ? & ? \\ ? & ? & ? & ? & ? & ? & ? & ? & ? & ? & ? & ? \\ ? & ? & ? & ? & ? & ? & ? & ? & ? & ? & ? & ? \\ ? & ? & ? & ? & ? & ? & ? & ? & ? & ? & ? & ? \\ ? & ? & ? & ? & ? & ? & ? & ? & ? & ? & ? & ? \\ ? & ? & ? & ? & ? & ? & ? & ? & ? & ? & ? & ? }. \end{equation} \subsection*{Función que construye la matriz en el caso general $\boldsymbol{p\times q}$} \begin{verbatim} function [A] = rectangular_lattice(p, q), n = ???; A = zeros(n, n); ??? end \end{verbatim} Para $p=2$, $q=3$ la función regresa la matriz \eqref{matrix23}, y para $p=4$, $q=3$ la función regresa la matriz \eqref{matrix43}. \end{document}