Álgebras de operadores, ESFM del IPN

En la primavera del 2019 y en el otoño del 2020 el curso tiene título oficial “Temas selectos de análisis funcional y real”. La página está en contrucción.


Descomposición espectal de matrices normales (repaso)

La matriz adjunta (transpuesta conjugada) y sus propiedades principales.
La proyección ortogonal de un vector sobre un vector no nulo.
La proyección ortogonal de un vector sobre el subespacio generado por una lista ortonormal.
Matrices diagonales.
Matrices unitarias.
Descomposición de Schur de matrices (triangulación de Schur).
Descomposición espectral de matrices normales.
Matrices autoadjuntas.
Matrices positivas definidas.
Subclases de matrices normales: matrices unitarias, autoadjuntas, positivas definidas, proyecciones ortogonales.
Funciones de matrices normales.
Proyecciones ortogonales.
La transformada finita de Fourier. Es un ejemplo de matriz unitaria.
Matrices circulantes. Forman una subclase de matrices normales.


Álgebras de Banach

Álgebras de Banach: definición y ejemplos.
Ejemplo: operadores lineales acotados en espacios de Banach.
Ejemplo: funciones continuas sobre un compacto.
Ejemplo: el álgebra de funciones continuamente derivables.
Ejemplo: el álgebra del disco.
Ejemplo: el álgebra de convolución y el álgebra de Wiener.
Cociente de un álgebra de Banach sobre un ideal cerrado.
La serie de von Neumann.
El grupo de los elementos invertibles.
El espectro y la función resolvente.
Operadores de multiplicación en el espacio de sucesiones.
Operadores de multiplicación en el espacio de funciones p-integrables.
Operadores de desplazamiento a la derecha y a la izquierda.
El radio espectral.
Fórmula de Gelfand–Beurling para el radio espectral.
Caracteres de álgebras de Banach.
El espectro de un elemento de un álgebra de Banach en una subálgebra.
Caracteres de álgebras de Banach.
Transformada de Gelfand.
El espacio de caracteres del álgebra de funciones continuas en un compacto.
El espacio de caracteres del álgebra del disco.
El espacio de caracteres del álgebra de convolución sobre los enteros.
El espacio de caracteres del álgebra de matrices de Toeplitz triangulares inferiores.
El espacio de caracteres de un álgebra de Banach con identidad generada por un elemento.
El cálculo holomorfo (el cálculo de Riesz) en álgebras de Banach.
Problemas para examen. Tema: «Álgebras de Banach».


Álgebras C*

Álgebras C*: definición, ejemplos y propiedades elementales.
Elementos normales en álgebras C*.
C*-morfismos de álgebras C*.
Transformada de Gelfand para álgebras C* conmutativas.
El espectro de un elemento de un álgebra de Banach en una subálgebra.
El espectro de un elemento de un álgebra C* en una C*-subálgebra.
El teorema espectral para elementos normales.
El cálculo funcional continuo para elementos normales.
Algunas aplicaciones del cálculo funcional continuo para elementos normales.
Problemas para examen. Tema: «Álgebras C*».


Bibliografía




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