Curso propedéutico de matemáticas (cálculo)
para ingresar a la Maestría en Ciencias Fisicomatemáticas, ESFM del IPN

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Examen de admisión a la maestría de la ESFM del IPN, linea de matemáticas, febrero del 2015.

Examen de admisión a la maestría de la ESFM del IPN, linea de matemáticas, mayo del 2016.

Lista de problemas de cálculo que recomiendo para estudiantes de maestría.

Lista de problemas de álgebra lineal que recomiendo para estudiantes de maestría (no algebraistas).

Lista incompleta de trámites y actividades que hay que hacer durante la maestría.

El objetivo del curso consiste en repasar los temas principales de Cálculo.

pdf Primer examen parcial. Conjuntos. Funciones. Desigualdades. Suceciones acotadas. Límites de sucesiones. Límites de funciones. Continuidad de funciones. Derivada y diferencial. Integral indefinida. Subconjuntos del plano.
pdf Segundo examen parcial. Límites de funciones. Continuidad de funciones. Teoremas sobre funciones derivables. Análisis de la variación de las funciones. Fórmula de Taylor. Convergencia uniforme. Integral definida. Integrales impropias y series. Conjuntos en el plano y en el espacio. Funciones de varias variables.
  Tercer examen parcial. Cálculo de límites con la fórmula de Taylor. Convergencia uniforme. Integral definida. Ecuaciones diferenciales. Integrales impropias y series. Conjuntos en el plano y en el espacio. Normas y topología en Rn. Funciones de varias variables. Integración de funciones de varias variables.
  Examen extraordinario.

Desigualdades

  Álgebra trabaja con igualdades, Análisis trabaja con desigualdades.
Hay varias fórmulas analíticas que se ven como igualdades (fórmulas para derivadas, integrales, series, etc.)
pero todas estas tratan de límites y son formas breves para constar ciertas desigualdades.
pdf Desigualdades.
pdf Desigualdades y operaciones aritméticas.
pdf Intervalos del eje real.
pdf Intervalos del eje real y operaciones aritméticas.
pdf Comparación de números.
pdf Construcción de números que satisfagan ciertas desigualdades.
  Solución de desigualdades con el Método de Intervalos.
pdf Valor absoluto.
pdf Solución de ecuaciones y desigualdades con el valor absoluto.
pdf Propiedad subaditiva del valor absoluto (desigualdad del triángulo).
  Desigualdad de las medias aritmética y geométrica.
  Desigualdades principales para las funciones trigonométricas.
pdf Desigualdad de Bernoulli.
pdf Cotas superiores e inferiores.
  Topología del eje real.

Sucesiones

  Definición de sucesiones con fórmulas.
pdf Sucesiones acotadas.
  Definición del límite de una sucesión.
pdf Cálculo de los límites de algunas sucesiones.
pdf Propiedades de límites de sucesiones.
pdf Notación de Landau o pequeña para sucesiones.
pdf Notación de Landau O grande para sucesiones.

Conjuntos y funciones

pdf Operaciones con conjuntos.
pdf Familias de conjuntos.
pdf Imágenes y preimágenes con respecto a funciones que actúan sobre conjuntos finitos.
pdf Imágenes de subconjuntos bajo funciones continuas de una variable real.
pdf Funciones, imágenes y preimágenes.
pdf Propiedades de imágenes y preimágenes.
  Funciones inyectivas, suprayectivas y biyectivas.
  Función inversa.

Límites de funciones

pdf Definición del límite de una función.
pdf Definición del límite de una función, límite en el punto cero.
pdf Límite de funciones.
pdf Funciones que tienden a infinito.
  Límites sobre subconjuntos. Límites laterales.
  Funciones acotadas.
  Teoremas fundamentales sobre límites.
pdf Límite de la función sen(x)/x, cuando x tiende a 0. Límites de algunas funciones trigonométricas.
pdf Límites de las funciones (exp(x)-1)/x y ln(1+x)/x cuando x tiende a 0.
pdf Notación de Landau o pequeña para funciones.
  Notación de Landau O grande para funciones.

Continuidad de funciones

pdf Continuidad de funciones.
  Propiedades de funciones continuas.
pdf Teorema del valor intermedio.
pdf Continuidad uniforme.

Derivada y diferencial

  Definición de la derivada.
  Interpretación geométrica de la derivada.
  Diferencial. Significado geométrico de la diferencial.
  Derivada de la composición.
  Derivada de la función inversa.

Teoremas sobre funciones derivables

  Teorema sobre las raíces de la derivada (teorema de Rolle).
  Teorema del valor medio (teorema sobre los incrementos finitos, teorema de Lagrange).
  Teorema sobre la razón de los incrementos de dos funciones (teorema de Cauchy).
  Límite de la razón de dos infinitesimales (cálculo de límites indeterminados del tipo 0/0).
  Límite de la razón de dos magnitudes infinitamente grandes (cálculo de límites indeterminados de la forma infty/infty).

Análisis de la variación de las funciones

  Máximo y mínimo de funciones.
  Aplicación de la teoría de míximos y mínimos de funciones a la solución de problemas.
pdf Demostración de algunas desigualdades con ayuda de la derivada.

Fórmula de Taylor

  La fórmula de Taylor-Maclaurin es una de las herramientas más finas y poderosas del Cálculo.
  Símbolos «O» y «o» de Landau.
  Operaciones con expresiones asintóticas.
pdf Fórmula de Taylor-Maclaurin para algunas funciones elementales.
pdf Operaciones simples con expansiones asintóticas.
pdf Multiplicación de expansiones asintóticas.
pdf División de expansiones asintóticas.
pdf Composición de expansiones asintóticas.
pdf Cálculo de límites con la fórmula de Taylor-Maclaurin.
  Series de Taylor.

Convergencia uniforme

pdf Norma-supremo.
pdf Convergencia uniforme.

Integral indefinida

  Función primitiva (antiderivada) e integral indefinida.
pdf Tabla de integrales.
  Integración por cambio de variable o por sustitución.
  Integración por partes.
  Integración de ciertas funciones que contienen un trinomio cuadrado.
  Integración de funciones racionales.
  Integración de algunas funciones trigonométricas.

Integral definida

  Integral definida.
  Propiedades fundamentales de la integral definida.
  Primer teorema fundamental del cálculo.
  Secundo teorema fundamental del cálculo (fórmula de Newton-Leibniz).
  Cálculo de la integral definida.

Integrales impropias y series

  Integrales impropias.
  Convergencia absoluta de las integrales impropias.
  Series.
  Convergencia absoluta de las series.

Conjuntos en Rn

  Conjuntos en Rn.
  Normas en Rn.
  Topología de Rn.

Funciones de varias variables

  Límites de funciones de varias variables.
  Derivadas parciales.
  Diferencial.
  Teorema de la función implicita.

Integración de funciones de varias variables

  Cambio de variables en una integral multidimensional.
pdf Cálculo de áreas.
  Cálculo de volúmenes.

Literatura

Se recomienda elegir algún libro de cálculo de alto nivel (o sea un libro de introducción al análisis), leer explicaciones y, lo más importante, resolver ejercicios del libro. Algunos de los libros más famosos son:

También pueden ser útiles los siguientes materiales:

Ejercicios avanzados (si uno puede resolver la mayoría de estos, entonces ya no necesita ningún curso propedéutico):



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