Curso propedéutico de matemáticas (cálculo)
para ingresar a la Maestría en Ciencias Fisicomatemáticas, ESFM del IPN

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Examen de admisión a la maestría de la ESFM del IPN, linea de matemáticas, febrero del 2015.

Examen de admisión a la maestría de la ESFM del IPN, linea de matemáticas, mayo del 2016.

Lista de problemas de cálculo que recomiendo para estudiantes de maestría.

Lista de problemas de álgebra lineal que recomiendo para estudiantes de maestría (no algebraistas).

El objetivo del curso consiste en repasar los temas principales de Cálculo.

Primer examen parcial. Conjuntos. Funciones. Desigualdades. Suceciones acotadas. Límites de sucesiones. Límites de funciones. Continuidad de funciones. Derivada y diferencial. Integral indefinida. Subconjuntos del plano.
Segundo examen parcial. Límites de funciones. Continuidad de funciones. Teoremas sobre funciones derivables. Análisis de la variación de las funciones. Fórmula de Taylor. Convergencia uniforme. Integral definida. Integrales impropias y series. Conjuntos en el plano y en el espacio. Funciones de varias variables.
Tercer examen parcial. Cálculo de límites con la fórmula de Taylor. Convergencia uniforme. Integral definida. Ecuaciones diferenciales. Integrales impropias y series. Conjuntos en el plano y en el espacio. Normas y topología en Rn. Funciones de varias variables. Integración de funciones de varias variables.
Examen extraordinario.

Desigualdades

Álgebra trabaja con igualdades, Análisis trabaja con desigualdades.
Hay varias fórmulas analíticas que se ven como igualdades (fórmulas para derivadas, integrales, series, etc.)
pero todas estas tratan de límites y son formas breves para constar ciertas desigualdades.
Desigualdades.
Desigualdades y operaciones aritméticas.
Intervalos del eje real.
Intervalos del eje real y operaciones aritméticas.
Comparación de números.
Construcción de números que satisfagan ciertas desigualdades.
Solución de desigualdades con el Método de Intervalos.
Valor absoluto.
Solución de ecuaciones y desigualdades con el valor absoluto.
Propiedad subaditiva del valor absoluto (desigualdad del triángulo).
Desigualdad de las medias aritmética y geométrica.
Desigualdades principales para las funciones trigonométricas.
Desigualdad de Bernoulli.
Cotas superiores e inferiores.
Topología del eje real.

Sucesiones

Definición de sucesiones con fórmulas.
Sucesiones acotadas.
Definición del límite de una sucesión.
Cálculo de los límites de algunas sucesiones.
Propiedades de límites de sucesiones.
Notación de Landau o pequeña para sucesiones.
Notación de Landau O grande para sucesiones.

Conjuntos y funciones

Operaciones con conjuntos.
Familias de conjuntos.
Imágenes y preimágenes con respecto a funciones que actúan sobre conjuntos finitos.
Imágenes de subconjuntos bajo funciones continuas de una variable real.
Funciones, imágenes y preimágenes.
Propiedades de imágenes y preimágenes.
Funciones inyectivas, suprayectivas y biyectivas.
Función inversa.

Límites de funciones

Definición del límite de una función.
Definición del límite de una función, límite en el punto cero.
Límite de funciones.
Funciones que tienden a infinito.
Límites sobre subconjuntos. Límites laterales.
Funciones acotadas.
Teoremas fundamentales sobre límites.
Límite de la función sen(x)/x, cuando x tiende a 0. Límites de algunas funciones trigonométricas.
Límites de las funciones (exp(x)-1)/x y ln(1+x)/x cuando x tiende a 0.
Notación de Landau o pequeña para funciones.
Notación de Landau O grande para funciones.

Continuidad de funciones

Continuidad de funciones.
Propiedades de funciones continuas.
Teorema del valor intermedio.
Continuidad uniforme.

Derivada y diferencial

Definición de la derivada.
Interpretación geométrica de la derivada.
Diferencial. Significado geométrico de la diferencial.
Derivada de la composición.
Derivada de la función inversa.

Teoremas sobre funciones derivables

Teorema sobre las raíces de la derivada (teorema de Rolle).
Teorema del valor medio (teorema sobre los incrementos finitos, teorema de Lagrange).
Teorema sobre la razón de los incrementos de dos funciones (teorema de Cauchy).
Límite de la razón de dos infinitesimales (cálculo de límites indeterminados del tipo 0/0).
Límite de la razón de dos magnitudes infinitamente grandes (cálculo de límites indeterminados de la forma infty/infty).

Análisis de la variación de las funciones

Máximo y mínimo de funciones.
Aplicación de la teoría de míximos y mínimos de funciones a la solución de problemas.
Demostración de algunas desigualdades con ayuda de la derivada.

Fórmula de Taylor

La fórmula de Taylor-Maclaurin es una de las herramientas más finas y poderosas del Cálculo.
Símbolos «O» y «o» de Landau.
Operaciones con expresiones asintóticas.
Fórmula de Taylor-Maclaurin para algunas funciones elementales.
Operaciones simples con expansiones asintóticas.
Multiplicación de expansiones asintóticas.
División de expansiones asintóticas.
Composición de expansiones asintóticas.
Cálculo de límites con la fórmula de Taylor-Maclaurin.
Series de Taylor.

Convergencia uniforme

Norma-supremo.
Convergencia uniforme.

Integral indefinida

Función primitiva (antiderivada) e integral indefinida.
Tabla de integrales.
Integración por cambio de variable o por sustitución.
Integración por partes.
Integración de ciertas funciones que contienen un trinomio cuadrado.
Integración de funciones racionales.
Integración de algunas funciones trigonométricas.

Integral definida

Integral definida.
Propiedades fundamentales de la integral definida.
Primer teorema fundamental del cálculo.
Secundo teorema fundamental del cálculo (fórmula de Newton-Leibniz).
Cálculo de la integral definida.

Integrales impropias y series

Integrales impropias.
Convergencia absoluta de las integrales impropias.
Series.
Convergencia absoluta de las series.

Conjuntos en Rn

Conjuntos en Rn.
Normas en Rn.
Topología de Rn.

Funciones de varias variables

Límites de funciones de varias variables.
Derivadas parciales.
Diferencial.
Teorema de la función implicita.

Integración de funciones de varias variables

Cambio de variables en una integral multidimensional.
Cálculo de áreas.
Cálculo de volúmenes.

Literatura

Se recomienda elegir algún libro de cálculo de alto nivel (o sea un libro de introducción al análisis), leer explicaciones y, lo más importante, resolver ejercicios del libro. Algunos de los libros más famosos son:

También pueden ser útiles los siguientes materiales:

Ejercicios avanzados (si uno puede resolver la mayoría de estos, entonces ya no necesita ningún curso propedéutico):



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