Elementos de precálculo y de lógica matemática

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En esta página voy a poner listas de ejercicios pequeños que pueden servir para repasar algunos temas básicos de matemáticas.

Algunos ejercicios y problemas que resolvíamos en cursos propedéuticos en Rusia.

Elementos de trigonometría

Ángulos múltiplos de π/2 en la circunferencia unitaria.
Ángulos múltiplos de π/4 y de π/6 en la circunferencia unitaria.
Coseno y seno del ángulo π/4 (razonamiento geométrico).
Coseno y seno del ángulo π/6 (razonamiento geométrico).
Valores de las funciones trigonométricas en los ángulos múltiplos de π/4 y de π/6.
Periodicidad y paridad de las funciones trigonométricas.
Identidades trigonométricas principales: cos(α+β) y sen(α+β).
Identidades trigonométricas.
Propiedades principales de la función cos.
Propiedades principales de la función sen.
Propiedades principales de la función tg.
Propiedades principales de la función ctg.
Definición de la función arcsen y sus propiedades básicas.
Definición de la función arccos y sus propiedades básicas.
Definición de la función arctg y sus propiedades básicas.
Solución de ecuaciones trigonométricas elementales.
Solución de desigualdades trigonométricas elementales.

Gráficas de funciones

Gráficas de algunas funciones elementales.
Desplazamientos y distensiones de las gráficas.
Gráficas de las funciones inversas.
Gráficas y el valor absoluto.

Sumatorias

Notación breve para sumas.
Linear properties of sums.
Dividing one sum into many sums.
Double sums.
Lower triangular sums.
Upper triangular sums.
Antitriangular sums.

Progresiones aritmética y geométrica

Progresión aritmética.
Diferencia de las potencias.
Progresión geométrica.
Sumas parciales de la serie geométrica.
Suma de la progresión geométrica.

Factorial y coeficientes binominales

Teorema del binomio en problemas (plan de investigación). Para resolver esta lista de problemas se necesitan esfuerzos, valentía y un buen nivel de preparación.
Una explicación más detallada y accesible está dividida en varias listas de ejercicios. Empezamos con explicaciones combinatorias.
Número de permutaciones.
Número de disposiciones (permutaciones parciales).
Número de combinaciones (subconjuntos).
Potencias del binomio. Explicación combinatoria.
Ahora estudiamos los mismos objetos de manera puramente algebraica. Este camino es independiente del camino combinatorio, pero es más autoritario.
Factorial.
Coeficientes binominales.
Potencias del binomio.

Multiplicación y división de los polinomios

Multiplicación de los binomios.
Multiplicación de los polinomios.
Algoritmo de multiplicación de un polinomio por un binomio.
División de un polinomio entre un polinomio.
División sintética de un polinomio entre un binomio.
Desarrollo de un polinomio en las potencias de un binomio.

Números complejos

Forma rectangular de números complejos.
Cálculo de las raíces cuadrádas de un número complejo.
Forma polar de un número complejo.
Potencias de números complejos en forma polar (fórmula de Moivre).
Raíces de números complejos en forma polar.
Fórmulas de Euler e identidades trigonométricas.

Elementos de lógica matemática

Negación, conjunción y disyunción.
Implicación y equivalencia.
Cuantificadores sobre conjuntos finitos.
Cuantificadores.
Cuantificadores, conjunción y disyunción.
Cuantificadores y negación (leyes de De Morgan para los cuantificadores).
Demostraciones por inducción.

Desigualdades

El conjunto de los números reales como un campo ordenado.
Desigualdades y relaciones lógicas.
Desigualdades y operaciones aritméticas.
Intervalos del eje real.
Intervalos del eje real y operaciones aritméticas.
Comparación de números.
Construcción de números que satisfagan ciertas desigualdades.
Solución de desigualdades con el Método de Intervalos.
Valor absoluto.
Solución de ecuaciones y desigualdades con el valor absoluto.
Propiedad subaditiva del valor absoluto (desigualdad del triángulo).
Desigualdad de las medias aritmética y geométrica.
Desigualdades principales para las funciones trigonométricas.

Conjuntos

Operaciones con conjuntos finitos.
Operaciones con conjuntos.
Diferencia simétrica de conjuntos.
Operaciones con familias de conjuntos.

Imágenes y preimágenes

Imágenes y preimágenes con respecto a funciones que actúan sobre conjuntos finitos.
Imágenes de subconjuntos bajo funciones continuas de una variable real.
Preimágenes de subconjuntos bajo funciones continuas de una variable real.
Propiedades de imágenes y preimágenes.
Propiedades de imágenes y preimágenes para familias de conjuntos.

Funciones inyectivas, suprayectivas e invertibles

Funciones inyectivas y suprayectivas.
Composición de funciones.
Funciones invertibles.


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