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El objetivo es interpolar o aproximar funciones continuas o suaves
por funciones polinomiales o polinomiales a trozos.
Propósito de Análisis Numérico: analizar algoritmos típicos para resolver problemas matemáticas continuas, optimizando la rapidez y la precisión.
| Prerrequisitos de la asignatura: haber cursado bien Métodos Numéricos o Análisis Numérico I, con mucha programación. | |
| essay | Lloyd N. Trefethen, The definition of numerical analysis. Numerical analysis is the study of algorithms for the problems of continuous mathematics. |
| liga | Lenguaje de programación recomendado: MATLAB o alguno de sus análogos libres. |
| zip | Ejemplo simple de programación con vectores y matrices en el lenguaje de MATLAB. |
| liga | El lenguaje Julia hereda varias ideas de MATLAB y de Python, pero es compilable y por eso muy rápido. |
| cpp | Ejemplo simple de programación con vectores y matrices en C++. |
| c.zip | Ejemplo simple de programación con vectores en C. |
| Primero necesitamos repasar ciertas operaciones con polinomios. | |||
| apuntes | Multiplicación de polinomios. | ||
| present | video | Multiplicación de polinomios por binomios mónicos (presentación). | |
| present | video | Regla de Ruffini en acción, división de un polinomio entre un binomio mónico, división sintética (presentación). | |
| apuntes | Algoritmo de Ruffini–Horner para dividir un polinomio entre un binomio mónico, con explicación. | ||
| present | video | Construcción de polinomios con raíces dadas (presentación). | |
| Ahora atacamos el problema de interpolación polinomial. | |||
| present | video | apuntes | Introducción a la interpolación polinomial. Reducción a un sistema de ecuaciones lineales. |
| present | video | apuntes | Existencia y unicidad del polinomio interpolante, con ayuda de Vandermonde. |
| present | video | apuntes | Polinomios básicos de Lagrange. |
| present | video | apuntes | Fórmula de Lagrange para el polinomio interpolante. |
| apuntes | Error de la interpolación polinomial. | ||
| apuntes | Fórmulas recursivas de Neville para el polinomio interpolante (método de Neville). | ||
| present | video | Diferencias divididas de primer orden. | |
| Diferencias divididas. | |||
| apuntes | Diferencias divididas. Fórmula de Newton para el polinomio interpolante. | ||
| apuntes | Polinomio interpolante en diferencias progresivas. | ||
| apuntes | Polinomio interpolante en diferencias regresivas. | ||
| apuntes | Interpolación segmentaria lineal (splines lineales). | ||
| apuntes | Interpolación segmentaria cúbica (splines cúbicos). | ||
| apuntes | Interpolación de Hermite. | ||
| Temas de las clases prácticas (programación). | |||
| prog | Programación: Multiplicación de un polinomio por un binomio mónico. | ||
| prog | Programación: División de un polinomio entre un binomio mónico. | ||
| ejercicios | Programación: Evaluación de un polinomio en un punto con varios algoritmos. | ||
| Programación: Evaluación de un polinomio en un arreglo de puntos. | |||
| Programación: Expansión de un polinomio en potencias de un binomio mónico. | |||
| prog | Programación: Construcción del polinomio mónico de grado mínimo con raíces dadas. | ||
| Programación: Construcción de los polinomios básicos de Lagrange. | |||
| prog | Programación: Construcción del polinomio interpolante por la fórmula de Lagrange. | ||
| prog | Programación: Construcción del polinomio interpolante con el método de Newton. | ||
| Programación: Pruebas y comparación de varios algoritmos para construir el polinomio interpolante. | |||
| Programación: Construcción del polinomio interpolante con nodos múltiples. | |||
| prog | Programación: Interpolación segmentaria lineal (splines lineales). | ||
| prog | Programación: Interpolación segmentaria cúbica (splines cúbicos). | ||
| tarea | Tarea individual. Tema: Interpolación polinomial. | ||
| Matrices ortogonales. Criterios en términos de renglones y columnas. | |||
| Matrices ortogonales. Criterios en términos de producto interno, norma y distancia. | |||
| ejercicios | Rotaciones del plano. | ||
| Reflecciones del plano. | |||
| Rotaciones (transformaciones de Jacobi–Givens). | |||
| Cálculo de la rotación de Givens. | |||
| apuntes | Proyección ortogonal sobre una recta. | ||
| apuntes | Reflexión ortogonal respecto a un hipersubespacio. | ||
| apuntes | Reflecciones (transformaciones) de Householder. | ||
| Problema de mínimos cuadrados. | |||
| Proceso de Gram–Schmidt. | |||
| Proceso de Gram–Schmidt equivale a la descomposición QR. | |||
| Descomposición QR usando reflectores de Householder. | |||
| Descomposición QR usando rotaciones de Givens. | |||
| Unicidad de la descomposición QR. | |||
| Solución de sistemas de ecuaciones lineales por medio de la descomposición QR. | |||
| Proyección ortogonal y complemento ortogonal. | |||
| Solución del problema de mínimos cuadrados. | |||
| apuntes | Matrices para el ajuste polinomial y trigonométrico. | ||
| prog | Programación: Combinaciones lineales de vectores ortogonales. | ||
| prog | Programación: Proyección ortogonal de un vector sobre la recta generada por un vector no nulo. | ||
| prog | Programación: El método modificado de Gram–Schmidt. | ||
| prog | Programación: Descomposición QR reducida con el método modificado de Gram–Schmidt. | ||
| prog | Programación: Rotaciones de Givens en el plano. | ||
| Programación: Rotaciones de Givens generales. | |||
| Programación: Descomposición QR usando rotaciones de Givens. | |||
| prog | Programación: Reflección ortogonal respecto a un hipersubespacio. | ||
| Programación: Aplicar la reflección ortogonal (respecto a un hipersubespacio) a un vector o a cada columna de una matriz. | |||
| prog | Programación: Construcción del vector que define la reflección de Householder. | ||
| prog | Programación: Descomposición QR completa usando reflexiones de Householder. | ||
| prog | Programación: Solución de sistemas de ecuaciones lineales con la descomposición QR. | ||
| prog | Programación: Solución del problema de mínimos cuadrados por medio de la descomposición QR. | ||
| prog | Programación: Construcción de la matriz de Vandermonde. | ||
| prog | Programación: Construcción de la matriz para evaluar polinomios trigonométricos en puntos dados. | ||
| Programación: Ajuste de curvas por polinomios algebraicos. | |||
| Programación: Ajuste de curvas por polinomios trigonométricos. | |||
| tarea | Tarea individual. Tema: Ortogonalización y descomposición QR. Versión actual. | ||
| código | Ejemplo de combinar GNU Octave con TikZ. | ||
| tarea | Ajuste de datos con mínimos cuadrados (tarea individual). Versión actual. | ||
| problemas | Lista de problemas teóricos. Tema: Matrices ortogonales. | ||
| problemas | Lista de problemas teóricos. Tema: Descomposición QR. | ||
En la tercera parte del curso estudiamos trazadores (splines) lineales y cúbicos, y también B-splines.
| apuntes | Interpolación segmentaria cúbica (splines cúbicos). Deducción de fórmulas para calcular los coeficientes. | ||
| apuntes | El concepto de splines básicos. Definición recursiva y propiedades elementales. | ||
| apuntes | El concepto de splines básicos. Partición de la unidad con B-splines. | ||
| apuntes | Independencia lineal de los splines básicos. Funcionales duales. | ||
| prog | Programación: búsqueda lineal de un elemento en un arreglo ordenado. | ||
| prog | Programación: Interpolación segmentaria lineal (splines lineales). | ||
| prog | Programación: Solución de sistemas tridiagonales de ecuaciones lineales. | ||
| prog | Programación: Interpolación segmentaria cúbica. | ||
| prog | Programación: Calcular los splines básicos lineales a trozos. | ||
| prog | Programación: Calcular los splines básicos de cualquier grado. | ||
| prog | Programación: interpolación segmentaria con combinaciones lineales de splines básicos cúbicos. | ||
| problemas | Lista de problemas teóricos. Tema: interpolación polinomial segmentaria (splines). | ||
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