Algunos temas de la Teoría de Representaciones, Egor Maximenko, ESFM del IPN

Algunos temas de la teoría de representaciones

En los años 2025 y 2026, vimos estos temas en el seminario «Teoría de representaciones en análisis» organizado por la Dra. Maribel Loaiza Leyva (Cinvestav) y Dr. Egor Maximenko (ESFM del IPN), con participación de algunos otros profesores y de varios alumnos.

Representaciones de grupos finitos sobre espacios vectoriales complejos de dimensión finita, conceptos básicos

Empezamos con grupos finitos y sus representaciones sobre espacios vectoriales complejos de dimensión finita.

apuntes	present	Representaciones lineales de grupos finitos (definiciones y ejemplos).
present		Representaciones lineales de grupos finitos (definiciones y ejemplos básicos).
present		Repaso: correspondencia entre matrices y operadores, cambio de base.
present		Representaciones matriciales (definiciones y ejemplos).
present		Matrices de permutación (repaso).
present		Representaciones regulares de grupos finitos.
present		Morfismos de representaciones (transformaciones lineales de entrelace).
present		El centralizador (conmutante) de una representación.
present		Isomorfismos de representaciones. Representaciones equivalentes.
present		Isomorfismos de representaciones matriciales. Representaciones matriciales equivalentes.
present		Simetrización de una transformación lineal entre dos representaciones de un grupo finito.
apuntes	present	Para cada representación existe un producto interno que la convierte en una representación unitaria.
present		Repaso de álgebra: los polinomios básicos de Lagrange y la partición del polinomio 1.
present		Repaso de álgebra lineal: el criterio de matriz diagonalizable en términos del polinomio mínimo.
apuntes	present	Propiedades espectrales de los operadores que forman una representación de un grupo finito.
present		Subespacio invariante de una representación. Subrepresentación.
present		Un complemento invariante de un subespacio invariante.
present		La suma directa (externa) de dos representaciones.
present		Representaciones irreducibles.
present		Teorema de Maschke sobre la descomposición de representaciones de grupos finitos.
present		El lema de Schur sobre representaciones lineales irreducibles de grupos finitos.
present		Las representaciones irreducibles de grupos conmutativos finitos son unidimensionales.
apuntes		El anillo de convolución sobre un semigrupo finito.
		Las modulaciones sobre el grupo ℤⁿ y su centralizadador (el álgebra de las matrices diagonales).
		Las traslaciones cíclicas sobre el grupo ℤⁿ, su centralizadador (el álgebra de las matrices circulantes) y su diagonalización por medio de la transformada finita de Fourier.

Caracteres de representaciones de grupos finitos

		Repaso: la base canónica en el espacio vectorial de matrices.
		Relaciones de ortogonalidad de Schur.
		Caracteres de grupos finitos.
		Relaciones de ortogonalidad para caracteres.

Bibliografía

Gordon Douglas James, Martin W. Liebeck. Representations and characters of groups, 2nd ed.
Cambridge University Press, Cambridge, 2001.
Stuart Martin. Representation theory. Lecture notes. 2011.
Jean-Pierre Serre. Linear representations of finite groups.
Springer, New York, 1977.
Benjamin Steinberg. Representation Theory of Finite Groups: An Introductory Approach.
Springer, New York, Dordrecht, Heidelberg, London, 2012. ISBN 978-1-4614-0775-1, e-ISBN 978-1-4614-0776-8, doi:10.1007/978-1-4614-0776-8.
Peter Webb. A course in finite group representation theory.
Cambridge University Press, Cambridge, 2016. ISBN 978-1-3166-7721-6, doi:10.1017/CBO9781316677216.

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