Álgebras de operadores, ESFM del IPN

En la primavera del 2019 y en el otoño del 2020 el curso tiene título oficial “Temas selectos de análisis funcional y real”. La página está en contrucción.


Descomposición espectal de matrices normales (repaso)

apuntes La matriz adjunta (transpuesta conjugada) y sus propiedades principales.
apuntes La proyección ortogonal de un vector sobre un vector no nulo.
apuntes La proyección ortogonal de un vector sobre el subespacio generado por una lista ortonormal.
apuntes Matrices diagonales.
  Matrices unitarias.
apuntes Descomposición de Schur de matrices (triangulación de Schur).
apuntes Triangulación de Schur (triangularización ortonormal) de una matriz compleja cuadrada, otra forma de escribir la demostración.
apuntes Descomposición espectral de matrices normales.
  Matrices autoadjuntas.
  Matrices positivas definidas.
  Subclases de matrices normales: matrices unitarias, autoadjuntas, positivas definidas, proyecciones ortogonales.
  Funciones de matrices normales.
  Proyecciones ortogonales.
ejercicios La transformada finita de Fourier. Es un ejemplo de matriz unitaria.
ejercicios Matrices circulantes. Forman una subclase de matrices normales.
problemas Problemas para examen. Tema: «Matrices normales».


Álgebras de Banach

  Álgebras de Banach: definición y ejemplos.
  Ejemplo: operadores lineales acotados en espacios de Banach.
  Ejemplo: funciones continuas sobre un compacto.
  Ejemplo: el álgebra de funciones continuamente derivables.
  Ejemplo: el álgebra del disco.
  Ejemplo: el álgebra de convolución y el álgebra de Wiener.
apuntes Cociente de un álgebra de Banach sobre un ideal cerrado.
  La serie de von Neumann.
  El grupo de los elementos invertibles.
  El espectro y la función resolvente.
  Operadores de multiplicación en el espacio de sucesiones.
  Operadores de multiplicación en el espacio de funciones p-integrables.
  Operadores de desplazamiento a la derecha y a la izquierda.
apuntes El radio espectral.
apuntes Fórmula de Gelfand–Beurling para el radio espectral.
problemas Problemas para examen. Tema: «Álgebras de Banach».


Álgebras de Banach conmutativas y transformada de Gelfand

apuntes Caracteres de álgebras de Banach con identidad.
apuntes Correspondencia entre caracteres e ideales maximales de álgebras de Banach con identidad.
apuntes El espectro de un elemento de un álgebra de Banach en una subálgebra.
apuntes Transformada de Gelfand.
apuntes El espacio de caracteres del álgebra de funciones continuas en un compacto.
apuntes El espacio de caracteres del álgebra del disco.
apuntes El espacio de caracteres del álgebra de convolución sobre los enteros.
apuntes El espacio de caracteres del álgebra de matrices de Toeplitz triangulares inferiores.
apuntes El espacio de caracteres de un álgebra de Banach con identidad generada por un elemento.
apuntes El cálculo holomorfo (el cálculo de Riesz) en álgebras de Banach.
problemas Problemas para examen. Tema: «Álgebras de Banach conmutativas».


Álgebras C*

apuntes Álgebras C*: definición, ejemplos y propiedades elementales.
apuntes Elementos normales en álgebras C*.
  C*-morfismos de álgebras C*.
apuntes Transformada de Gelfand para álgebras C* conmutativas.
apuntes El espectro de un elemento de un álgebra de Banach en una subálgebra.
apuntes El espectro de un elemento de un álgebra C* en una C*-subálgebra.
apuntes El teorema espectral para elementos normales.
apuntes El cálculo funcional continuo para elementos normales.
apuntes Algunas aplicaciones del cálculo funcional continuo para elementos normales.
problemas Problemas para examen. Tema: «Álgebras C*».


Bibliografía




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