Espacios de Hilbert con núcleo reproductor


En otoño del 2022 doy este curso con el título oficial «Temas selectos de análisis complejo» (en la maestría de la ESFM).


Contenido.


Objetivos: estudiar propiedades generales de espacios de Hilbert con núcleo reproductor, estudiar de manera detallada varios ejemplos y conocer algunas de aplicaciones.


Prerrequisitos: análisis funcional (especialmente la teoría de espacios de Hilbert), álgebra lineal (especialmente la teoría de matrices positivas), análisis real (la teoría de medida e integral), análisis complejo (el concepto de funciones holomorfas y armónicas), experiencia de programación (para estudiar algunas aplicaciones).



Definiciones y propiedades básicas

Definición y propiedades básicas de EHNR.

Proyecciones ortogonales en espacios de Hilbert (repaso).

Las combinaciones lineales del núcleo reproductor asociado a todos los puntos del dominio forman un subconjunto denso.

El teorema de representación de Riesz–Fréchet.

Propiedad de reproducción y funcionales de evaluación.

Los núcleos reproductores son funciones positivas definidas.

Ejemplos (sin demostraciones): espacios de Bergman de funciones analíticas en un dominio del plano.

Ejemplo (sin demostraciones): espacio de Bargmann–Segal–Fock.

Ejemplo (sin demostraciones): el espacio de Bergman de funciones armónicas en un dominio del plano.

Ejemplos (sin demostraciones): espacios de Bergman de funciones polianalíticas en un dominio del plano.

Ejemplo negativo: L2.

Ejemplo: espacios de dimensión finita.

Ejemplo: espacios ℓ2.

Definición de EHNR por medio de mapeos de características (feature maps).

Expresión del núcleo reproductor a través de una base ortonormal.

El núcleo reproductor y cambios de variable con peso.


Matrices positivas definidas

El álgebra de matrices diagonales.

Criterio para que una matriz diagonal sea autoadjunta; unitaria; positiva definida; proyección ortogonal.

Triangulación de Schur de matrices cuadradas.

Descomposición espectral de matrices normales.

Criterio de matrices autoadjuntas.

Criterios de matrices positivas (en el sentido estricto y en el sentido débil).

La matriz de Gram de un sistema de vectores.

Operaciones básicas con matrices positivas.


El teorema de Moore–Aronszajn

Unicidad del EHNR con el NR dado.

La desigualdad de Schwarz para los pre-productos internos.

La desigualdad de Schwarz para los pre-productos internos (presentación).

Núcleos.

Núcleos (presentación).

Núcleos reales.

El teorema de Moore–Aronszajn.

Una demostración del teorema de Moore–Aronszajn que utiliza la completación abstracta de espacios con producto interno.


Propiedades y ejemplos de núcleos (después de estudiar el teorema de Moore–Aronszajn)

Núcleos y continuidad.

El EHNR inducido por un producto interno.

El EHNR asociado a una matriz estrictamente positiva.

Espacios de Hilbert con núcleo reproductor inducidos por una función.

La función min como un núcleo.


Recetas para construir núcleos nuevos a partir de núcleos dados

Recetas para construir núcleos nuevos a partir de núcleos dados.


Interpolación en EHNR

Interpolación en EHNR.


Descomposición espectral de núcleos reproductores

El teorema de Mercer.

Descomposición espectral de núcleos reproductores.

Representación de núcleos reproductores por medio de mapeos de características.



Ejemplos

El espacio de Bergman sobre el disco unitario

El teorema de Weierstrass sobre la convergencia uniforme de funciones holomorfas.

La propiedad del valor medio para funciones analíticas.

Los monomios normalizados forman una base ortonormal en el espacio de Bergman sobre el disco unitario. El cálculo del núcleo reproductor.

Los operadores unitarios asociados a las transformadas de Möbius. El cálculo del núcleo reproductor.


El espacio de Bargmann–Segal–Fock

Los monomios normalizados forman una base ortonormal en el espacio de Bargmann–Segal–Fock. El cálculo del núcleo reproductor.

Las traslaciones de Weyl (operadores unitarios asociados a traslaciones del plano). El cálculo del núcleo reproductor.


El espacio de funciones de banda limitada

El espacio de funciones de banda limitada.


El espacio de Hardy

El espacio de Hardy como funciones definidas en la circunferencia.

El espacio de Hardy como funciones definidas en el disco. El núcleo reproductor.


El espacio polianalítico de Bargmann–Segal–Fock

Los polinomios de Laguerre y su propiedad de reproducción.

Teoremas de valor medio para las funciones polianalíticas.

El espacio polianalítico de Bargmann–Segal–Fock.


El núcleo de Gauss

El espacio de Steinwart–Hush–Scovel que corresponde al núcleo de Gauss complejo.

El núcleo de Gauss (real), sus propiedades y el espacio de Hilbert que le corresponde.

La descomposición espectral del núcleo de Gauss.



Aplicaciones

Aplicaciones en la teoría de aprendizaje automatizado

Criterio de separación de puntos por medio de hiperplanos.

Separación con ayuda de núcleos reproductores.

Teorema del representante de Schölkopf, Herbrich y Smola.


La teoría de Karhunen–Loève

El espacio de Hilbert asociado a un proceso estocástico.

El teorema de Karhunen–Loève.



Bibliografía



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