Seminario “Matrices y operadores”


Organizadores: Egor Maximenko, Crispin Herrera Yañez, con apoyo del Departamento de Matemáticas (M. en C. Erick Lee Guzmán).


Semestre agosto–diciembre del 2019.

Horario: algunos miércoles a las 15 horas (voy a poner avisos previos).
Lugar: salón 107 de la ESFM.

13 de noviembre de 2019 (miércoles), a las 15 horas, en el salón 107 de la ESFM.
Egor Maximenko. Base ortonormal polinomial en el espacio de funciones cuadrado integrables sobre el disco.
Considaremos el espacio L2 sobre el disco en el plano complejo. Los polinomios en z y z conjugada forman un subconjunto denso en este espacio, por eso es natural construir una base de Hilbert (una base ortonormal) que consista de estos polinomios. Mostramos que las funciones básicas se pueden expresar en términos de los polinomios de Jacobi. Al final generalizamos los resultados al caso con peso. La plática utiliza ideas de Ramazanov.

30 de octubre de 2019 (miércoles), a las 15 horas, en el salón 107 de la ESFM.
Gerardo Ramos Vázquez. El núcleo reproductor del espacio de Bergman de funciones polianalíticas sobre el disco (parte 2).
En la primera parte de esta charla, encontramos el núcleo reproductor del espacio analítico de Bergman sobre el disco. Esta ocasión, haremos lo propio con el espacio n-analítico de Bergman (o poli-analítico de Bergman de grado n), que es el espacio de funciones cuadrado integrables cuya n-ésima derivada respecto a z conjugada se anula. Para ello, estudiaremos algunas propiedades de los polinomios de Jacobi y después probaremos una nueva versión de la propiedad del valor medio para funciones poli-analíticas. La plática está basada en ideas de Koshelev y de Pessoa.

16 de octubre de 2019 (miércoles), a las 15 horas, en el salón 107 de la ESFM.
Gerardo Ramos Vázquez. El núcleo reproductor del espacio de Bergman de funciones polianalíticas sobre el disco.
El espacio de funciones polianalíticas sobre el disco y de cuadrado integrables, llamado también espacio polianalítico de Bergman, es un espacio de Hilbert con núcleo reproductor. El objetivo de esta charla es mostrar el núcleo de dicho espacio y demostrar su propiedad reproductora a través de la propiedad del valor medio para funciones polianalíticas. La plática está basada en ideas de Koshelev y de Pessoa.


Semestre enero–julio del 2019.

Horario: algunos miércoles a las 15 horas (voy a poner avisos previos).
Lugar: salón 107 de la ESFM.

3 de julio de 2019 (miércoles), a las 15 horas, en el salón AG-2 de la ESFM.
Alexis Pantoja Pineda. Herramientas auxiliares para el teorema de Mercer.
En esta platica se explican el teorema de la descomposición espectral de operadores compactos autoadjuntos, el concepto de operadores integrales y el criterio de operadores integrales positivos.

19 de junio de 2019 (miércoles), a las 15 horas, en el salón 107 de la ESFM.
María del Rosario Ramírez Mora. Álgebra generada por un número finito de operadores de Toeplitz asociados a símbolos verticales y actuando en un espacio poli-Bergman.
Estudiamos la álgebra generada por los operadores de Toeplitz en el espacio de Bergman de funciones n-analíticas del semiplano superior. Aquí consideramos un número finito de símbolos generadores acotados verticales (que dependen únicamente de la parte imaginaria del argumento), y que tienen límites en cero y en el infinito. Mostramos que la álgebra generada por estos opeadores de Toeplitz es isométricamente isomorfa a la C*-álgebra que consiste de todas las funciones continuas matriciales n por n que tienen límites escalares en los puntos cero e infinito.

27 de marzo de 2019 (miércoles), a las 15 horas, en el salón 107 de la ESFM.
Eduardo Camps Moreno. Códigos producto de matrices.
Se considera el problema básico de la teoría de códigos y se introducen sus conceptos básicos. Se exponen los códigos productos de matrices que forman una generalización del concepto de concatenación y se describen sus propiedades en términos de matrices generadoras.

30 de enero de 2019 (miércoles), a las 14 horas, en el salón 103 de la ESFM.
Alexis Pantoja Pineda. El teorema de Moore–Aronszajn, demostración de la existencia.
En esta plática se construirá un EHNR dado un núcleo definido positivo. La construcción se hará inspirada en los resultados de la plática anterior sobre el núcleo reproductor en su espacio de Hilbert.

17 de enero de 2019 (jueves), a las 14 horas, en el salón 105 de la ESFM.
Alexis Pantoja Pineda. El teorema de Moore–Aronszajn, demostración de la unicidad.
En esta plática se introducirá a la definición de espacios de Hilbert con núcleo reproductor y sus propiedades básicas, además se verá el papel autoritario que tiene el núcleo reproductor en su espacio de Hilbert.


Semestre agosto–diciembre del 2018.

Horario: algunos jueves a las 15:00.
Lugar: ESFM del IPN, salón Z-205 (edificio Z).

29 de noviembre de 2018. Omar Hilario Ortiz. El mapeo generalizado de Weyl y el ordenamiento de operadores.
Se hace una revisión de la notación moderna de la mecánica cuántica, del problema de Dirac y después se aborda la construcción del mapeo generalizado de Weyl. Este mapeo es de gran importancia ya que permite obtener el operador correspondiente a una función suave en el espacio fase. Finalmente, se presentan algunos ejemplos de los principales ordenamientos de operadores empleados en física.

18 de octubre de 2018. José Carlos Valencia Ramírez. Matrices de Toeplitz hermitianas de banda generadas por polinomios trigonométricos.
Aproximamos matrices de Toeplitz hermitianas de banda con matrices circulantes de tal manera que su diferencia sea de rango pequeño. Usando el teorema de intercalación de Cauchy obtenemos una aproximación uniforme de los valores propios de la matriz de Toeplitz de banda.

11 de octubre de 2018. Alejandro Soto González. Valores y vectores propios de las matrices tridiagonales de Toeplitz con perturbaciones en las esquinas.
Denotemos por Tn a la matriz tridiagonal de Toeplitz de orden n con entradas −1, 2, −1. Consideramos las matrices Sn,α que se obtienen de Tn al poner −α en las posiciones (n, 1) y (1, n). Calculamos el polinomio caraterístico de estas matrices, mostramos que la ecuación característica se puede resolver con el método del punto fijo, encontramos expansiones asintóticas para los valores propios y calculamos los vectores propios.

27 de septiembre de 2018. Christian Rene Leal Pacheco. Diagonalización de operadores verticales en espacios de Hilbert con núcleo reproductor.
Sea H un espacio de Hilbert con núcleo reproductor de funciones definidas en el semiplano superior Π. Supongamos que H está dotado del producto interno L2(Π) y es invariante bajo desplazamientos horizontales. Consideramos el álgebra de von Neumann V de los operadores verticales, es decir, operador lineales acotados en H que conmutan con todos los desplazamientos horizontales. Establecemos una condición necesaria y suficiente para que el álgebra V sea conmutativa. En el caso conmutativo construimos un operador unitario que diagonaliza a todos los operadores verticales.


Semestre enero–julio del 2018.

En el semestre enero–junio del 2018 la mayor parte de las sesiones del seminario se llevó a cabo en el salón 109 de la ESFM del IPN, algunos jueves a las 16:40.

6 de julio de 2018 (viernes) a las 12:00. Oscar Iván Pérez Mota. Sobre el espectro del operador de Schrödinger con potencial negativo.
Se considera el operador de Schrödinger sobre el intervalo [−1, 1] con potencial −x2 y con condiciones cero en la frontera. Usando el método WKB se encuentran ecuaciones aproximadas para los valores propios.

4 de julio de 2018 (miércoles) a las 16:40. Ondrej Hutník. Vertical Toeplitz operators acting on poly-analytic Bergman spaces over the upper half-plane.
In the talk we solve the question of characterization of commutative C*-algebras of Toeplitz operators acting on the poly-analytic Bergman spaces over the upper half-plane whose symbols depend only on the vertical coordinate of the complex variable (the so-called vertical symbol). We adopt a time-scale point of view when considering the important case of a parametric family of wavelets related to Laguerre functions. As is well-known, each Toeplitz operator with vertical symbol is unitarily equivalent to the multiplication operator with an explicitly given spectral function. We provide an independent and intrinsic characterization of the C*-algebra generated by spectral functions being isometrically isomorphic to the C*-algebra of very slowly oscillating functions on the positive real line.

3 de julio de 2018 (martes) a las 16:40. José Carlos Valencia Ramírez. Aproximación uniforme de los valores propios de matrices de Toeplitz autoadjuntas generadas por funciones continuas.
Consideramos matrices de Toeplitz generadas por funciones reales continuas y demostramos que sus valores propios se aproximan uniformemente por los valores ordenados de la función generadora. En la demostración utilizamos la diagonalización de las matrices circulantes, el teorema de intercalación de Cauchy y la aproximación uniforme de funciones continuas por polinomios trigonométricos.

21 de junio de 2018. Crispin Herrera Yañez. Operadores invariantes bajo traslaciones en espacios de Hilbert con núcleo reproductor.
Consideramos los espacios L2(G×Y), donde G es un grupo abeliano localmente compacto y Y es un espacio de medida, para los cuales existe un subespacio cerrado H que es un espacio de Hilbert con núcleo reproductor. Denotamos por V al álgebra de operadores acotados en H que conmutan con operadores de traslación en la primera coordenada. Mostramos que V es una W*-álgebra y mostramos la relación entre los operadores de traslación y el núcleo reproductor. Finalmente se identifican los elementos anteriormente descritos en el espacio de Bergman sobre el disco cuando los operadores son invariantes bajo rotaciones. Hacemos esto mismo para el espacio de Bergman sobre el semiplano superior en dos situaciones, cuando los operadores son invariantes bajo traslaciones horizontales y cuando son invariantes bajo dilataciones.

7 de junio de 2018. Gerardo Ramos Vázquez. Una descripción del álgebra de multiplicadores en grupos abelianos localmente compactos.
Llamamos «multiplicador» a un operador invariante bajo traslaciones en un GALC. Mostraremos que el álgebra de multiplicadores es unitariamente equivalente al álgebra de funciones esencialmente acotadas. De aquí obtendremos el siguiente criterio: si un operador conmuta con todos los operadores de multiplicación, entonces este operador también es de multiplicación.

31 de mayo de 2018. Christian Rene Leal Pacheco. Espacios de Bergman sobre el disco unitario y sobre el semiplano superior.
En esta sesión recordaremos la definición y algunas propiedades principales de los espacios de Hilbert con núcleo reproductor (EHNR). Veremos que el espacio de Bergman sobre el disco unitario A2(D) es, en efecto, un EHNR: mostraremos que este espacio es completo y que el funcional de evaluación es acotado. Posteriormente calcularemos el núcleo reproductor a través de una base ortonormal, y finalmente, por medio de un biholomorfismo del disco en el semiplano, podremos describir el núcleo reproductor sobre el semiplano superior.

17 de mayo de 2018. Gerardo Ramos Vázquez. Transformada de Fourier en grupos abelianos localmente compactos.
Esta plática es una pequeña introducción al análisis armónico abstracto. Estudiaremos los rudimentos en la construcción de la transformada de Fourier en grupos localmente compactos, además de algunas propiedades, su inversión y el teorema de convolución.

3 de mayo de 2018. Gerardo Ramos Vázquez. Los operadores de multiplicación en espacios de medida sigma-finita.
Dado un espacio de medida sigma-finita X, presentaremos los operadores de multiplicación que actúan sobre L2(X) y de ellos estudiaremos algunas propiedades aritméticas, su norma, su espectro y un criterio de invertibilidad.

22 de marzo de 2018. Crispin Herrera Yañez. Operadores de Toeplitz con símbolos radiales y una descripción de la C*-álgebra generada por los mismos.
Un operador acotado que actúa sobre el espacio de Bergman sobre la bola unitaria se dice radial, si se diagonaliza con respecto a la base canónica. Esto es, existe un isomorfismo isométrico entre los operadores radiales y sus sucesiones de valores propios. Se muestran algunas propiedades de estas sucesiones de valores propios y se describe la C*-álgebra generada por las mismas. Resulta que dicha C*-álgebra concide con las sucesiones lentamente oscilantes, es decir sucesiones que son uniformemente conitnuas con respecto a la métrica logarítmica.

1 de marzo de 2018. Gerardo Ramos Vázquez. Transformada de ondícula continua, operadores de localización y funciones espectrales.
Estudiaremos la diagonalización de una clase particular de operadores de localización relativos a la transformada de ondícula y daremos una descripción del álgebra-C* generada por las respectivas funciones espectrales.

15 de febrero de 2018. Gerardo Ramos Vázquez. Un vistazo a la transformada de ondícula continua.
Esta charla es una introducción a la transformada de ondícula continua (TOC) también llamada transformada wavelet. Estudiaremos el grupo afín positivo, la propiedad isométrica de la TOC y su relación con la transformada de Fourier. Finalmente abordaremos el tema de los operadores de localización asociados a esta transformada. La plática es accesible para estudiantes de licenciatura.


Semestre agosto–diciembre del 2017.

En el semestre agosto–diciembre del 2017 el seminario fue en el salón 111 de la ESFM del IPN, algunos miércoles a las 16:40.

6 de diciembre de 2017. Eduardo Camps Moreno. Códigos polares.
Introducimos los códigos polares, analizando su construcción y las ventajas que ofrece respecto a otros tipos de códigos. Mencionaremos las diferentes aplicaciones que en sus pocos años de existencia han tenido y su relación con los códigos algebro geométricos.

29 de noviembre de 2017. Iván Oscar Pérez Mota. Oscilador armónico cuántico y polinomios de Hermite.
En esta plática de divulgación se considera el operador de Schrödinger independiente del tiempo, en la recta real, con un potencial cuadrático, y se explica cómo encontrar sus valores propios y funciones propias usando los operadores de “creación” y “aniquilación” propuestos por Dirac. Resulta que las funciones propias son las funciones de Hermite, es decir, los polinomios de Hermite multiplicados por un peso gaussiano.

22 de noviembre de 2017. José Carlos Valencia Ramírez. Aproximación uniforme de los valores propios de matrices de Toeplitz autoadjuntas de banda.
Se explica brevemente una demostración nueva de un resultado reciente sobre los valores de matrices de Toeplitz hermitianas generadas por polinomios de Laurent. Resulta que estos valores propios de pueden aproximar de manera uniforme por los valores ordenados de la función generadora en una malla equidistante. La demostración utiliza la fórmula para los valores propios de matrices circulantes y el teorema de intercalación de Cauchy.

15 de noviembre de 2017. Pedro A. Hernández Leal. Los espacios Afín y Proyectivo: Un vistazo a la Geometría Algebraica.
Veremos como resolver un sistema de ecuaciones polinomiales usando geometría algebraica. Consideraremos el conjunto de n-uplas con entradas en un campo (llamado espacio afín), en nuestro caso no nos interesa verlo como espacio vectorial sino más bien dotarlo de una estructura de espacio topológico a cuya topología llamaremos «Topología de Zariski». Una vez estudiado el espacio afín veremos que podemos definir una relación de equivalencia sobre él y esto definirá a su vez el espacio proyectivo donde daremos una estructura similar al espacio afín.

15 de noviembre de 2017. Christian Rene Leal Pacheco. Introducción al espacio de Bergman sobre el disco unitario.
Se explican las propiedades fundamentales del espacio de Bergman sobre el disco unitario. En particular, se muestra que el funcional de evaluación es acotado, que el espacio es completo y que los monomios normalizados forman una base ortonormal.

8 de noviembre de 2017. Gerardo Ramos Vázquez. Operadores de multiplicación en el espacio de sucesiones.
Se estudiarán la norma, la invertibilidad y el espectro del operador de multiplicación con símbolo acotado en el espacio de sucesiones cuadrado sumables.

8 de noviembre de 2017. Ana María Tellería Romero. Espacios de Bargmann-Segal-Fock polianalíticos.
El espacio de Bargmann-Segal-Fock consiste de las funciones definidas en el plano que son cuadrado integrables respecto a la medida gaussiana y al mismo tiempo analíticas, es decir, se expanden en series de potencias de z. La definición de los espacios de Bargmann-Segal-Fock polianalíticos es similar, pero en las expansiones se admiten también potencias de z conjugado. En la plática se explica una construcción de bases ortonormales en estos espacios.

18 de octubre de 2017. Miguel Ángel Rodríguez Rodríguez. Álgebras generadas por operadores de Toeplitz en los espacios de Hardy y de Bergman.
Se explican resultados conocidos sobre los operadores de Toeplitz con símbolos continuos en el disco unitario cerrado, que actúan en los espacios de Hardy y de Bergman. Se muestra que en ambos casos el álgebra C* generada por estos operadores, al despreciar los operadores compactos (formalmente, se trata del álgebra-cociente de Calkin), es isomorfa al álgebra C(𝕋) de funciones continuas sobre la circunferencia unitaria.





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