Análisis Numérico III

Es una materia de Licenciatura en Física y Matemáticas de la Escuela Superior de Física y Matemáticas del Instituto Politécnico Nacional (ESFM del IPN).

El objetivo del curso es analizar algoritmos para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias (y algunas clases de ecuaciones diferenciales parciales), maximizando la precisión y la rapidez. Vamos a trabajar con los siguientes tipos de problemas:

  1. Solución numérica de problemas de valores iniciales para EDO.
  2. Solución numérica de problemas de frontera para EDO.
  3. Solución numérica de algunas clases de EDP.

Solución numérica del problema de valores iniciales para EDO

apuntes Problema de Cauchy para ecuaciones diferenciales.
apuntes Teorema del punto fijo (de Banach).
apuntes Teorema de Picard sobre la existencia y unicidad de la solución del problema de Cauchy.
apuntes Desigualdad discreta de Grönwall (tema optativo).
apuntes Desigualdad de Grönwall–Bellman.
apuntes Estabilidad de la solución de EDO respecto a perturbaciones del valor inicial.
apuntes Convergencia del método de Euler. Estimación del error local y del error global.
apuntes Teorema sobre una cota superior del error global a partir de una cota superior del error local.
apuntes Análisis de los métodos de Runge–Kutta de segundo orden, incluso los métodos de Heun, de Ralston y del punto promedio.
  Pasar de una EDO de orden m con m condiciones iniciales a una EDO de orden 1 para una función vectorial.
apuntes Análisis de los métodos de Adams–Bashforth directos para resolver EDO's con valores iniciales.
prog Programación: dibujamos el campo de las pendientes.
programa Programación: dibujamos el campo de las pendientes y una solución particular usando Python y LaTeX + TikZ.
prog Programación: el método de Euler.
prog Programación: métodos de Heun y de Ralston.
prog Programación: un par de métodos de Runge–Kutta de tercer order.
prog Programación: un par de métodos de Runge–Kutta de cuarto order.
prog Programación: un par de métodos de Runge–Kutta de quinto order.
prog Programación: métodos de Runge–Kutta por sus tablas de Butcher.
prog Programación: ejemplos de métodos de Runge–Kutta implícitos.
prog Programación: métodos de un paso para sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias con valores iniciales.
prog Programación: método de Adams–Bashforth de paso doble.
prog Programación: métodos de Adams–Bashforth.
problemas Lista de problemas para examen (incompleta). Tema: Solución numérica del problema de valores iniciales para EDO.
examen Guía del primer examen parcial. Tema: Solución numérica del problema de valores iniciales para EDO.
liga Pedro Marín Ramírez, Péndulos dobles, triples y cuadruples. Solución numérica y videos compuestos con POV-Ray.
apuntes Yahir Uriel Guzmán Pérez, Issis Fragoso Martínez, Felipe García Mendoza. Solución numérica del problema de dos cuerpos.

Solución numérica de problemas de frontera para EDO

  Problemas de frontera para EDO.
apuntes Solución de un caso particular del problema de valor de frontera en términos de la función de Green sobre un intervalo.
  Método de la regla falsa (repaso).
apuntes Método de disparo para problemas lineales con condiciones de frontera.
  Método de disparo para EDOs (no necesariamente lineales) con condiciones de frontera.
apuntes Expresión de derivadas a través de diferencias finitas.
apuntes Idea de métodos de diferencias finitas para problemas de frontera lineales sobre un intervalo.
apuntes Análisis de la convergencia del método de diferencias finitas.
liga Ejemplos de problemas.
apuntes Propiedades de algunas matices de Toeplitz tridiagonales.
prog Programación: el método de bisección (repaso).
  Programación: el método de la regla falsa (repaso).
  Programación: el uso de clausuras para aplicar los métodos de bisección y de la regla falsa a funciones con parámetros.
prog Programación: el método de disparo para problemas de frontera lineales.
prog Programación: el método de disparo para problemas de frontera (no necesariamente lineales).
prog Programación: un ejemplo muy simple de una EDO de segundo orden con valores de frontera, para resolver con varios métodos.
prog Programación: algunos métodos de integración numérica (repaso breve).
prog Programación: solución de una clase simple de problemas de frontera en un intervalo por medio de la función de Green.
prog Programación: comprobación de algunas propiedades de las matrices tridiagonales de Toeplitz con entradas −1, 2, −1.
prog Programación: solución de una clase simple de problemas de frontera en un intervalo con el método de diferencias divididas.
  Programación: solución de los problemas de frontera lineales en un intervalo con el método de diferencias divididas.
prog Programación: solución de una clase simple de problemas de frontera usando un esquema más preciso con diferencias finitas.
tarea Tarea individual (o por equipos) del tema: Solución numérica del problema de frontera para EDO.
temario Lista de problemas para examen. Tema: Solución numérica del problema de frontera para EDO.
examen Guía del segundo examen parcial. Tema: Solución numérica del problema de valores de frontera para EDO.

Solución numérica de algunas clases de EDP

apuntes Solución de la ecuación de calor sobre un intervalo con una condición inicial trigonométrica.
apuntes Solución de la ecuación de calor sobre un intervalo usando series de Fourier.
apuntes Normas de las matrices que surgen en algunos métodos de diferencias finitas que se usan para resolver la ecuación de calor en un intervalo.
apuntes Análisis de la convergencia del método explícito de diferencias finitas para resolver la ecuación de calor sobre un intervalo.
apuntes Análisis de la convergencia del método implícito de diferencias finitas para resolver la ecuación de calor sobre un intervalo.
apuntes Análisis de la convergencia del esquema de Crank y Nicolson para resolver la ecuación de calor en un intervalo.
prog Programación: solución de la ecuación de calor con una condición inicial trigonométrica.
prog Programación: un estudio experimental del error de truncamiento local en varios esquemas para resolver la ecuación de calor en un intervalo.
prog Programación: comprobación de algunas propiedades de las matrices tridiagonales de Toeplitz con entradas −1, 2, −1.
prog Programación: solución de la ecuación de calor con una condición inicial triangular.
prog Programación: solución de la ecuación de calor con diferencias finitas, en forma explícita.
  Programación: solución de la ecuación de calor con diferencias finitas, en forma implícita.
prog Programación: solución de la ecuación de calor con el esquema de Crank y Nicolson.
  Lista de problemas para examen (todavía no está escrita). Tema: Solución numérica de la ecuación de calor.
examen Guía del tercer examen parcial. Tema: Solución numérica del problema de calor en un intervalo.

Bibliografía



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