Temas de investigaciones en matemáticas para estudiantes

Estoy dispuesto para dirigir trabajos de servicio social y tesis a nivel de licenciatura y maestría.
En esta página voy a describir brevemente los temas que puedo proponer.
Son temas para hacer el servicio social o escribir una tesis de licenciatura.
Muchas de estos temas sirven como bases para escribir tesis de maestría.

  1. Matrices confluentes de Vandermonde
  2. Series formales de potencias
  3. La integral singular de funciones racionales sobre la circunferencia unitaria
  4. Factorización de Wiener–Hopf de funciones racionales
  5. Invertibilidad de operadores de Toeplitz generados por símbolos racionales
  6. Operadores locales en el sentido de Kozak
  7. Construcción de inversas aproximadas para matrices de Toeplitz de órdenes grandes
  8. Valores propios de matrices tridiagonales reales simétricas
  9. El teorema de Jacobi sobre el menor complementario
  10. Matrices de Laplace y sus propiedades espectrales
  11. El método de componentes principales (y ejemplos de sus aplicaciones)
  12. Análisis espectral de señales (y ejemplos de sus aplicaciones)
  13. Valores propios de matrices de Toeplitz relacionadas con la función sinc
  14. Elementos de geometría hiperbólica, del punto de vista de análisis complejo
  15. El filtro de Kalman

En casi todos estos temas hay aspectos numéricos, es decir, tareas optativas para programar.


Prototipo (maqueta) de un reporte final de servicio social

Prototipo (maqueta) de una tesis


Matrices confluentes de Vandermonde

Encontrar en libros y artículos la fórmula para el determinante, estudiar y explicar varias demostraciones de esta fórmula, hacer comprobaciones numéricas.

Aplicación: soluciones de recurrencias lineales.

Aplicación: interpolación con nodos múltiples (problema de Hermite).

Aplicación: polinomios de Schur.



Series formales de potencias

Series formales de potencias se pueden definir como sucesiones (unilaterales), la multiplicación está definida como la convolución. Estudiar propiedades de esta álgebra y su relación con el análisis complejo.

Algunas ideas se explican en el primer capítulo del libro de Cartan, Elementary theory of analytic functions of one or several complex variables.

El desarrollo de este tema ayuda a entender mejor fundamentos de análisis complejo, el concepto de convolución y algunas propiedades de matrices de Toeplitz.

Área: álgebra, análisis complejo, análisis armónico.



La integral singular de funciones racionales sobre la circunferencia unitaria

La integral singular sobre la circunferencia unitaria (asociada comunmente con los nombres de Cauchy, Hilbert y Szegő) es una de las herramientas más brillandes de análisis complejo. Esta integral se puede considerar como un operador lineal en ciertos espacios de funciones.

Se propone estudiar cómo actúa este operador a las funciones racionales que no tienen polos en la circunferencia unitaria.
En particular, mostrar que el operador deja fijas las funciones racionales que no tienen polos en el disco unitario cerrado, y cambia el signo de las funciones racionales que no tienen singularidades en el exterior del disco unitario.

Área: análisis complejo.

Aplicaciones: factorización de Wiener–Hopf, fórmulas de Plemel-Sokhotski.



Factorización de Wiener–Hopf de funciones racionales

Basándose en la tesis de Eduardo Said Merín Martínez, explicar de manera más clara y con más detalles el caso de funciones racionales.

Tarea avanzada: estudiar algoritmos de factorización de Wiener–Hopf de funciones polinomiales o racionales.

La factorización de Wiener–Hopf se usa para invertir operadores de Toeplitz, y también para resolver algunos otros problemas sobre la semirecta real.

Área: análisis complejo.



Operadores diagonal dominantes

Se pueden imaginar como matrices infinitas cuyas entradas lejanas de la diagonal son pequeñas.

Área: análisis funcional, cálculo avanzado.

Aplicaciones: teoría de matrices de Toeplitz, construcción de sus inversas aproximadas.



Construcción de inversas aproximadas para matrices de Toeplitz de órdenes grandes

Usando los operadores inversos para las convoluciones sobre la semirecta derecha e izquierda, construir una aproximación a la matriz inversa de la matriz de Toeplitz de orden grande.

Área: análisis funcional, álgebra lineal, cálculo avanzado.

Aplicaciones: investigaciones modernas sobre los valores propios de matrices de Toeplitz (teoremas de Szegő–Widom).



El núcleo de Cesàro–Fejér

Estudiar el núcleo de Cesàro–Fejér y sus propiedades. En particular, demostrar que es una sucesión de Dirac, explicar el concepto de la convolución periódica, demostrar que las funciones continuas periódicas se aproximan uniformemente por polinomios trigonométricos. Algunas de estas ideas se explican con mucho amor en el libro de Serge Lang, Math talks for undergraduates, páginas 49–61.

Área: análisis armónico, cálculo avanzado.

Aplicaciones: investigaciones modernas sobre la aproximación de funciones suaves por polinomios trigonométricos, algunos aspectos teóricos de la tomografía por resonancia magnética, aproximación de matrices de Toeplitz por matrices circulantes.



Valores propios de matrices tridiagonales reales simétricas

Para calcular los valores propios de matrices grandes autoadjuntas, las reducen a matrices reales simétricas tridiagonales. Para las últimas, hay varios algoritmos iterativos que permiten calcular (aproximar) los valores propios. Se propone estudiar y programar uno de estos algoritmos: el algoritmo QR con desplazamientos de Wilkinson.

Área: álgebra lineal numérica, álgebra lineal, programación.



El teorema de Jacobi sobre el menor complementario

Dada una matriz cuadrada A, consideremos su matriz adjugada adj(A). En otras palabras, adj(A) es la matriz transpuesta de cofactores. El teorema de Jacobi expresa cada menor de adj(A) a través de cierto menor de A. Como colorario, cada menor de la matriz inversa de A se expresa a través de cierto menor de A.

Una demostración de este teorema se explica en los apuntes de Fidel Vásquez Rojas. Se propone estudiar otra demostración (más elemental) de este teorema.

Aplicaciones: teoría de polinomios de Schur, teoría de matrices de Toeplitz de banda.

Área: álgebra lineal avanzada.



Particiones y diagramas de Young

Estudiar el primer capítulo del libro Macdonald, Symmetric functions and Hall polynomials. Resolver problemas del libro, escribir apuntes y ejercicios accesibles sobre el tema.

Área: combinatoria, álgebra conmutativa.

Aplicaciones: teoría de polinomios de Schur.

Podemos trabajar en este tema juntos con el Dr. Eliseo Sarmiento Rosales.



Polinomios de Schur

Estudiar primeros capítulos del libro Macdonald, Symmetric functions and Hall polynomials. Resolver problemas del libro, escribir apuntes y ejercicios accesibles sobre el tema.

Área: combinatoria, álgebra conmutativa.

Aplicaciones: teoría de matrices de Toeplitz de banda.

Podemos trabajar en este tema juntos con el Dr. Eliseo Sarmiento Rosales.



Matrices de Laplace y de Laplace–Dirichlet, y sus propiedades espectrales

A cada gráfica se le asocian varias matrices, en particular, la matriz laplaciana. Al quitar algunas filas y columnas de una matriz de Laplace se obtiene una matriz de Laplace–Dirichlet (también se conocen como grounded Laplacian matrices).

Las propiedades espectrales de estas matrices son importantes para resolver ecuaciones diferenciales sobre gráficas (por ejemplo, la ecuación de calor), también están relacionadas con problemas de transporte.

Estudiar propiedades espectrales de matrices laplacianas, empezando con libros y artículos clásicos. Fiedler, Algebraic connectivity of graphs

Área: teorí de gráficas, álgebra lineal.



Cálculo de raíces de polinomios complejos

Estudiar y programar algoritmos que permiten calcular todos los ceros del polinomio dado con coeficientes complejos.

Podemos trabajar en este tema juntos con el Dr. Santiago Marcos Zepeda Martínez.

Área: métodos numéricos, programación, análisis complejo.

Aplicaciones: muchísimas, en particular, el estudio de matrices de Toeplitz de banda.


Los ceros del polinomio dependen continuamente de sus coeficientes

Fijamos un número entero positivo n y consideramos la función que a cada polinomio mónico complejo de grado n le asocia la tupla de sus raíces.
Hay que introducir métricas adecuadas y demostrar que esta función es continua.

Podemos trabajar en este tema juntos con el Dr. Santiago Marcos Zepeda Martínez.

Área: análisis complejo, cálculo avanzado.



El método de componentes principales (y ejemplos de sus aplicaciones)

Estudiar la teoría de descomposición en valores singulares y el método de componentes principales. Encontrar en literatura un par de aplicaciones interesantes de este método.

Área: álgebra lineal avanzada, métodos numéricos.


Análisis espectral de señales

Dada una señal (grabación de sonido, precios de una acción, datos de meteorología, etc.), algunas de sus propiedades se pueden analizar por medio de la transformada de Fourier. Por lo común la señal está dada como un arreglo finito de números, y se usa la Transformada Discreta de Fourier o alguna de sus modificaciones.

Además de entender las propiedades matemáticas de la Transformada Discreta de Fourier, hay que elegir y estudiar un área de aplicaciones, hacer experimentos numéricos o programar una simulación simple.

Área: análisis armónico, métodos numéricos.


Elementos de geometría hiperbólica, del punto de vista de análisis complejo

En el disco de Poincaré o en el semiplano de Poincaré estudiar la definición y las propiedades principales de la distancia y área,
basándose en propiedades de transformaciones de Möbius y en otras herramientas de análisis complejo.

Área: análisis complejo.



Valores propios de matrices de Toeplitz relacionadas con la función sinc

Se considera una familia de matrices de Toeplitz relacionadas con la función sinc,
véase un artículo de Lixing Han y Jianhong Xu.
Hay que demostrar que los valores propios están en el semiplano derecho abierto.

Área: matrices de Toeplitz, álgebra lineal, análisis funcional, análisis complejo.



Filtro de Kalman

Empezar con el artículo en Wikipedia, encontrar teoría en libros o artículos, describir la teoría y realizar los algoritmos principales.

Resulta que algunas propiedades del filtro de Kalman están relacionadas con matrices de Toeplitz.

Podemos trabajar en este tema juntos con el Dr. Eliseo Sarmiento Rosales.




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