Temas para estudiantes

Los siguientes temas pueden servir para trabajos de servicio social y se pueden extender hasta trabajos de tesis de maestría.

Pienso que los proyectos interesantes requieren mucho tiempo, por eso sugiero preguntar a varios profesores y encontrar un tema que realmente les guste, para convertirlo en su tema de maestría o para usarlo en su futuro trabajo.

Tengo una opinión pesimista acerca de las tesis de licenciatura. Muchos estudiantes abandonan estos trabajos de tesis, porque están ocupados con otras actividades. Sugiero escribir una tesis de licenciatura solamente cuando el tema es muy cercano al tema de la tesis de maestría, y con el mismo asesor.

Los temas que propongo no son muy cercanos a aplicaciones, pero combinan ideas de análisis, álgebra lineal y experimentos numéricos (sugiero programar en Sagemath).

Sugiero contactarme y discutir las dudas, si están interesados en algunos temas.


Análisis: polinomios ortogonales, transformadas de Fourier y núcleos reproductores

Polinomios de Laguerre y polinomios complejos de Hermite. Demostrar sus propiedades principales y hacer comprobaciones numéricas.

La transformada de Fourier de las funciones de Laguerre (se expresa como una suma de productos de funciones de Hermite).

La descomposición espectral del núcleo de Gauss. Estudiar propiedades básicas de los polinomios de Hermite y demostrar la fórmula conocida para los valores propios y las funciones propios del núcleo de Gauss. Escribir las demostraciones y hacer comprobaciones numéricas.

El fenómeno de Gibbs. Encontrar en libros y artículos demostraciones rigurosas que incluyan cotas de error. Estudiar demostraciones y hacer comprobaciones numéricas.


Matrices de Toeplitz

La fórmula de Trench para los determinantes de matrices de Toeplitz generadas por funciones racionales. Estudiar el artículo de Trench, entender la notación y hacer comprobaciones numéricas.

La fórmula de Fisher-Hartwig para los determinantes de matrices de Toeplitz. Buscar artículos modernos sobre esta fórmula, entender la notación, aplicar la fórmula a ejemplos pequeños y hacer comprobaciones numéricas.


Métodos numéricos generales

Programar algunos algoritmos para calcular (aproximar) los ceros de los polinomios con coeficientes complejos.

Programar algunos algoritmos para calcular (aproximar) los valores propios de las matrices reales simétricas tridiagonales.

Programar algún algoritmo para la descomposición en valores singulares.

Estudiar alguna aplicación del análisis de componentes principales.


Programación de ilustraciones interactivas en JavaScript

Con las herramientas de HTML+SVG+JavaScript, mostrar una matriz aleatoria con componentes fraccionarias. Sombrear la componente de la matriz que indica el usuario con el ratón.

A partir de una lista de nodos, construir una función cuadrática a trozos que pasa por los nodos dados.

Con las herramientas de HTML+SVG+JavaScript, mostrar el grafo que dibuja el usuario con el ratón.