Temas para estudiantes

Los siguientes temas pueden servir para trabajos de servicio social. Algunos de estos temas se pueden extender hasta trabajos de tesis de maestría.

Pienso que los proyectos interesantes requieren mucho tiempo, por eso sugiero preguntar a varios profesores y encontrar un tema que realmente les guste, para convertirlo en su tema de maestría o para usarlo en su futuro trabajo.

Tengo una opinión pesimista acerca de las tesis de licenciatura. Muchos estudiantes abandonan estos trabajos de tesis, porque los empiezan demasiado tarde (después de terminar la licenciatura), cuando ya están ocupados con otras actividades. Sugiero escribir una tesis de licenciatura solamente cuando el tema es muy cercano al tema de la tesis de maestría, y con el mismo asesor. Otra opción es empezar el trabajo de tesis a la mitad de licenciatura (en el quinto semestre), para poder terminarlo durante los estudios de licenciatura.

Los temas que propongo no son muy cercanos a aplicaciones (o, más bien, yo no me dedico a estas aplicaciones), pero combinan ideas de varias áreas de matemáticas: análisis, álgebra lineal y métodos numéricos. Casi en todos los temas es importante hacer experimentos numéricos para comprobar las fórmulas o hasta para inventar algunas fórmulas nuevas. Sugiero programar en Sagemath o en Python+NumPy. Lenguajes funcionales (como Haskell) también es una opción interesante, pero requieren más esfuerzos en el principio.

Habilidades de los estudiantes que se requieren para hacer el servicio social en estos temas:

Sugiero contactarme y discutir las dudas, si están interesados en algunos temas.


Análisis: polinomios ortogonales, transformadas de Fourier y núcleos reproductores

Ejemplos de núcleos reproductores asociados a la transformada de ondícula continua (continous wavelet transform). Dada una función con ciertas propiedades (ondícula madre), se le asocia un espacio de Hilbert con núcleo reproductor. Hay que calcular el núcleo de manera explícita para varios ejemplos de ondículas.

Polinomios generalizados de Laguerre y algunas de sus aplicaciones. Demostrar sus propiedades principales y hacer comprobaciones numéricas. Como una aplicación (teórica), se pueden estudiar los polinomios complejos de Hermite que forman una base ortogonal en el espacio L2 en el plano complejo con el peso gaussiano.

La propiedad reproductora de los polinomios ortogonales. Es fácil ver que los polinomios de grado ≤n, con el producto interno definido como la integral sobre un intervalo con cierto peso, forman un espacio de Hilbert con núcleo reproductor. Se propone calcular este núcleo reproductor.

La transformada de Fourier de las funciones de Laguerre. Esta transformada de Fourier se expresa como un producto de funciones de Hermite (buscar «Wigner distributions of Hermite functions»). Se propone estudiar una demostración de esta fórmula. Un camino de demostración está basado en propiedades de los operadores de escalera.

La descomposición espectral del núcleo de Gauss. Estudiar propiedades básicas de los polinomios de Hermite y demostrar la fórmula conocida para los valores propios y las funciones propios del núcleo de Gauss. Escribir las demostraciones y hacer comprobaciones numéricas.

El fenómeno de Gibbs. Encontrar demostraciones rigurosas de este resultado en libros o artículos. De preferencia, buscar demostraciones constructivas y estimaciones de la velocidad de convergencia. Hacer comprobaciones numéricas.

La distancia pseudohiperbólica y la distancia hiperbólica en el semiplano superior y en el disco unitario. Estudiar transformadas de Möbius en el semiplano superior del plano complejo, demostrar la desigualdad del triángulo para la distancia pseudohiperbólica, definir la distancia hiperbólica como la distancia intrínseca asociada (como el supremo de longitudes de curvas) y demostrar la fórmula explícita. Trabajar de manera similar en el disco unitario.


Matrices de Toeplitz

La fórmula de Fisher–Hartwig para los determinantes de matrices de Toeplitz. Buscar artículos modernos sobre esta fórmula, entender la notación, aplicar la fórmula a ejemplos pequeños y hacer comprobaciones numéricas.


Funciones convexas y sus aplicaciones

Dualidad de funciones convexas. Estudiar la transformada de Legendre y sus propiedades básicas. Aplicar esta teoría a funciones cuadráticas en ℝn con restricciones lineales. Entender la teoría de Karush–Kuhn–Tucker y de Slater para este caso particular.


Algoritmos y métodos numéricos generales

Encontrar el punto de norma mínima en la envoltura convexa de una lista de puntos. Se trata de entender y programar alguno de los algoritmos conocidos.

Entender y programar el algoritmo de Gilbert–Johnson–Keerthi (calcular la distancia mínima entre dos poliedros).

Programar algunos algoritmos para calcular (aproximar) los ceros de los polinomios con coeficientes complejos.

Programar algunos algoritmos para calcular (aproximar) los valores propios de las matrices reales simétricas tridiagonales.

Programar algún algoritmo para la descomposición en valores singulares. También estudiar la teorí de la descomposición en valores singulares (SVD).

Estudiar alguna aplicación del análisis de componentes principales. También estudiar la teorí de la descomposición en valores singulares (SVD).


Programación de ilustraciones interactivas en JavaScript

Estos temas son para los estudiantes que aman programar en JavaScript.

Mostrar una matriz y hacer una operación elemental. Con las herramientas de HTML+SVG+JavaScript, mostrar una matriz aleatoria con componentes fraccionarias. Sombrear la componente de la matriz que indica el usuario con el ratón. Hacer una operación elemental (sumar a un renglón un múltiple de otro renglón).

Dibujar un spline. A partir de una lista de nodos, construir una función lineal a trozos que pasa por los nodos dados. Luego construir una función cuadrática a trozos.

Con las herramientas de HTML+SVG+JavaScript, mostrar el grafo que dibuja el usuario con el ratón.