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De 19, 20, 21, 22, 23, 26 y 28 de junio del 2017, en algún salón libre del primer piso de la ESFM.
Exponemos en el pizarrón. El material está dividido en bloques muy pequeños.
El propósito de este mini-curso es repasar juntos los fundamentos de la teoría de espacios de Hilbert,
para poder estudiar después cosas más avanzadas.
La mayor parte del material corresponde al nivel de estudiantes de licenciatura de los últimos semestres.
Hay varios libros y apuntes excelentes:
Sugiero escribir apuntes breves de los temas elegidos, pueden usar un ejemplo.
Presidente de la sección y suplente general: Gerardo Ramos Vázquez.
El producto punto en ℂn.
Definición del producto interno.
Propiedad lineal del producto interno respecto al primer argumento (con una combinación lineal).
Propiedad lineal conjugada respecto al segundo argumento (con una combinación lineal).
El producto interno de una combinación lineal por una combinación lineal.
Expone Egor Maximenko.
Idea de la recuperación del escalar en términos del producto interno.
Sean a un vector no nulo y λ un número complejo.
Denotemos λ a por b.
Expresar λ en términos de a y b, usando el producto interno.
Expone Egor Maximenko.
Definición de la ortogonalidad de dos vectores (a ⟂ b).
Esta relación binaria es simétrica.
El vector cero es ortogonal a cualquier vector.
Dos demostraciones: 1) con la propiedad aditiva, 2) con la propiedad homogénea.
Si un vector es ortogonal a cada vector del espacio, entonces es cero.
Expone Ana María Tellería Romero.
El primer acercamiento a la idea de la proyección ortogonal de un vector sobre otro:
dados dos vectores a y b, donde a es no nulo,
encontrar λ tal que el vector w := b − λ a
sea ortogonal al vector a.
Expone Ana María Tellería Romero.
Desigualdad de Schwarz (en el enunciado no usar la notación de norma).
Idea de demostración: definir w como en la construcción anterior
y considerar el producto interno del vector w por si mismo.
Ejercicio (sin dar la respuesta): ¿cuándo se cumple la igualdad en la desigualdad de Schwarz?
Recordamos y demostramos la desigualdad Re(z) ≤ |z|,
donde z es un número complejo.
Expone ???.
Definición de la norma inducida por un producto interno.
Verificamos que se cumplen las propiedades de la norma.
En la demostración de la propiedad subaditiva usamos la desigualdad de Schwarz.
Ejercicio (sin dar la respuesta): ¿cuándo se cumple la igualdad en la propiedad subaditiva?
Expone ???.
Repasamos que la relación de ortogonalidad es simétrica.
El teorema de Pitágoras para dos vectores ortogonales.
Enunciar el ejercicio: el teorema de Pitágoras para varios vectores ortogonales por pares.
Fórmula para el cuadrado de la norma de la suma de dos vectores.
Fórmula para el cuadrado de la norma de la resta de dos vectores.
Identidad de paralelogramo. Dibujo.
Una aplicación de la identidad de paralelogramo:
no existe producto interno en ℂ2 que induzca la norma ||•||1.
Enunciar el ejercicio: la identidad de polarización.
Expone Agustín Hernández González.
Definición de la distancia inducida por una norma (en un espacio normado).
Verificamos que se cumplen las propiedades de la distancia.
En particular, la norma puede ser inducida por un producto interno.
Expone Mario Alberto Moctezuma Salazar.
Definición de sucesiones de Cauchy (en un espacio métrico).
Definición del espacio métrico completo.
Definición del espacio métrico separable.
Definición del espacio de pre-Hilbert.
Definición del espacio de Hilbert.
Expone Mario Alberto Moctezuma Salazar.
Desigualdad de Cauchy para vectores en ℂn como un caso particular de la desigualdad de Schwarz.
Demostrar la desigualdad de Cauchy para sucesiones, pasando al límite en la desigualdad de Cauchy para vectores.
Expone Egor Maximenko.
Definición del espacio l2 de sucesiones.
Usando el resultado anterior justificar la convergencia de la serie que define el producto interno.
Mencionar que es completo (sin demostración).
Expone Eduardo Camps Moreno.
En el espacio l2 definir los vectores básicos ep usando la delta de Kronecker.
Calcular el producto interno del vector general por ep.
Expone Eduardo Camps Moreno.
Enunciar la definición de funcional lineal acotado.
Definir la norma del funcional lineal acotado.
Demostrar que el funcional lineal acotado es Lipschitz continuo.
Demostrar que el funcional lineal acotado es continuo en cada punto.
Expone Eduardo Camps Moreno.
Asociar a cada vector del espacio de Hilbert un funcional lineal acotado.
Calcular la norma del funcional asociado a un vector.
Mostrar que si dos vectores inducen el mismo funcional, entonces son iguales.
Introducir la función que a cada vector asocia su funcional.
Enunciar sin demostración el teorema de representación de Riesz para espacios de Hilbert
(también se conoce como el teorema de Fréchet–Riesz).
Expone Egor Maximenko.
Presidente de la sección y suplente general: Mario Alberto Moctezuma Salazar.
Definición del funcional de evaluación en un espacio vectorial de funciones (repaso).
Se considera un conjunto X y un espacio vectorial V cuyos elementos son funciones de X a ℂ.
Expone Christian Rene Leal Pacheco.
ℂn y l2 como EHNR.
Expone Gerardo Ramos Vázquez.
Si existe un núcleo reproductor, entonces es único.
Si existe un núcleo reproductor, entonces los funcionales de evaluación son acotados.
Si los funcionales de evaluación son acotados, entonces existe un núcleo reproductor.
En un EHNR, si una sucesión converge (en la norma), entonces converge en cada punto.
Expone Gerardo Ramos Vázquez.
Definición de la función exponencial a través de una serie, mencionar (no demostrar) la convergencia.
Propiedad principal de la función exponencial (sin demostración).
Fórmula para la derivada de la función exponencial.
El sentido geométrico del número complejo exp(i x), donde x es un número real.
¿Cuándo exp(i x) = 1? (sin demostración).
Expone José Carlos Valencia Ramírez.
Deducir la fórmula para la integral normalizada de 0 a 2π
de la función exp(k i x), donde k es un entero.
Expone José Carlos Valencia Ramírez.
Definición del espacio de Bergman sobre el disco unitario.
Declaración de intenciones: luego vamos a demostrar que es un EHNR,
construir una base ortonormal y calcular el núcleo reproductor.
Funciones monomiales en el disco unitario, mp(z) := zp.
Calcular el producto interno de dos funcionales monomiales en el espacio de Bergman.
Definir los monomios normalizados bp.
Expone Ana María Tellería Romero.
Resolvemos el ejercicio:
¿cuándo se cumple la igualdad en la desigualdad de Schwarz?
Expone Mario Alberto Moctezuma Salazar.
El producto interno es continuo respecto a cada uno de sus dos argumentos.
La norma es continua respecto a la distancia inducida.
Expone Oscar Iván Pérez Mota.
Presidente de la sección y suplente general: Gerardo Ramos Vázquez.
Ortogonalidad de un vector a un conjunto.
¿Cuál vector es ortogonal a todo el espacio?
Ortogonalidad de dos conjuntos.
El complemento ortogonal de un conjunto de vectores.
Expone Oscar Iván Pérez Mota.
El funcional lineal acotado asociado a un elemento del espacio con producto interno (repaso).
El complemento ortogonal de un vector es el núcleo del funcional asociado a este vector.
El complemento ortogonal de un vector es un subespacio cerrado.
El complemento ortogonal de un conjunto de vectores es la intersección de los núcleos de los funcionales asociados.
El complemento ortogonal de un conjunto de vectores es un subespacio cerrado.
Expone Oscar Iván Pérez Mota.
Sea a un vector. Denotemos por S al subespacio generado por a.
Demostrar que S es cerrado.
Expone Emmanuel Moreno Muñoz.
Sea a un vector. Denotemos por S al subespacio generado por a.
Demostrar que el complemento ortogonal de S coincide con el complemento ortogonal de a.
Expone Emmanuel Moreno Muñoz.
Introducimos el concepto de la proyección ortogonal sobre un vector no nulo.
Sea a un vector no nulo. Denotemos por S al subespacio generado por a.
Sea v un vector. Entonces existe un único par de vectores (u, w)
tal que v = u + w,
u pertenece a S y w pertenece al complemento ortogonal de S.
Expone Emmanuel Moreno Muñoz.
El operador de la proyección ortogonal sobre un vector no nulo, y sus propiedades.
Denotemos por Pa(v) al vector u de la proposición anterior.
Recordamos la fórmula explícita para Pa(v)
y concluimos que la función Pa
es un operador lineal acotado en el espacio H.
El operador Pa es idempotente: Pa2 = Pa.
El operador Pa es hermitiano: ⟨Pa x, y⟩ = ⟨x, Pa y⟩.
El núcleo y la imagen del operador Pa.
El operador Pa no se cambia al multiplicar a por un escalar no nulo.
Expone Emmanuel Moreno Muñoz.
Enunciar el siguiente ejercicio sin resolverlo.
Sean a1, a1, …, am
algunos vectores mutualmente ortogonales y no nulos en un espacio de Hilbert H,
y sea v un vector en H.
Denotemos por S al subespacio generado por
a1, a1, …, am.
Demostrar que existe un único par de vectores (u, w)
tal que v = u + w,
u pertenece a S y w pertenece al complemento ortogonal de S.
Expone Gerardo Ramos Vázquez.
Definición del operador a⊗b, donde a y b son dos vectores dados.
Ejercicio (sin dar la respuesta): calcular la imagen y el núcleo del operador a⊗b.
Si a es un vector normalizado, entonces Pa = a⊗a.
Expone Gerardo Ramos Vázquez.
Definición de la suma de dos conjuntos en un espacio vectorial (repaso).
Sean A y B dos subconjuntos del espacio con producto interno.
Supongamos que el vector 0 pertenece a cada uno de estos dos conjuntos.
Enunciar y demostrar una fórmula para el complemento ortogonal de A + B.
Expone Gerardo Ramos Vázquez.
Definición del conjunto convexo.
Cualquier subespacio es un conjunto convexo.
Expone Eduardo Camps Moreno.
Teorema. Sea H un espacio de Hilbert
y sea E un subconjunto no vacío, cerrado y convexo de H.
Entonces existe un vector h en E cuya norma es estrictamente menor
que la norma de cualquier otro elemento de E.
Expone Eduardo Camps Moreno.
Corolario (generalización), sobre la existencia del elemento más cercano al vector dado.
Sea H un espacio de Hilbert, sea G un subconjunto no vacío, cerrado y convexo de H, y sea x un vector.
Entonces existe un vector g en G tal que d(g, x)
es estrictamente menor que d(y, x) para cualquier otro elemento y de G.
Expone Eduardo Camps Moreno.
La ecuación de calor sobre un intervalo, como una motivación para estudiar espacios de Hilbert.
Expone Christian Rene Leal Pacheco.
Presidente de la sección y suplente general: Mario Alberto Moctezuma Salazar.
Recuperación de los coeficientes de una combinación lineal de vectores ortonormales.
Teorema sobre la proyección ortogonal sobre el subespacio generado por una lista ortonormal.
Expone Egor Maximenko.
Repasamos el teorema sobre la existencia del elemento de norma mínima en un conjunto convexo cerrado no vacío.
Corolario (generalización): existencia del elemento más cercano al vector dado.
Expone Ana María Tellería Romero.
Teorema sobre el subespacio cerrado y su complemento:
Sea M un subespacio cerrado y sea v un elemento de H.
Denotemos por N el complemento ortogonal de M.
Entonces existe un único par de vectores u en M, w en N,
tal que v = u + w.
Expone Ana María Tellería Romero.
En la notación del teorema anterior,
definimos una función PM mediante la regla PM(v) = u.
Problema: demostrar que PM es un operador lineal acotado, idempotente y autoadjunto.
Problema: encontrar la imagen y el núcleo de PM.
Expone Ana María Tellería Romero.
El teorema de Fréchet–Riesz sobre la representación de los funcionales lineales en un espacio de Hilbert.
Expone Agustín Hernández González.
Si existe un núcleo reproductor, entonces los funcionales de evaluación son acotados (repaso).
Expone Christian Rene Leal Pacheco.
En un EHNR, si una sucesión converge (en la norma), entonces converge en cada punto (repaso).
Expone Christian Rene Leal Pacheco.
Definición de base ortonormal de un espacio de Hilbert (introducción rápida):
es una sucesión ortonormal, y cualquier vector se expande en una serie convergente.
Expone Agustín Hernández González.
Expresión del núcleo reproductor en términos de una base ortonormal.
Expone Agustín Hernández González.
Presidente de la sección y suplente general: Gerardo Ramos Vázquez.
Definición de funciones analíticas (por medio de la expansión en series en una vecindad de cada punto).
Propiedad del valor medio (sobre las circunferencias) para funciones analíticas.
Propiedad del valor medio (sobre los discos) para funciones analíticas.
Expone José Carlos Valencia Ramírez.
El espacio de Bergman sobre el disco unitario es un EHNR.
Expone Manuel Alejandro Ponce Martínez o Miguel Ángel Rodríguez Rodríguez.
Dada una función perteneciente al espacio de Bergman,
expresamos sus productos internos por los monomios normalizados en términos de sus coeficientes de Taylor–Maclaurin.
Justificar bien el intercambio de la integral con la serie.
Expone Manuel Alejandro Ponce Martínez o Miguel Ángel Rodríguez Rodríguez.
Los monomios normalizados forman una base ortonormal en el espacio de Bergman.
Expone Manuel Alejandro Ponce Martínez o Miguel Ángel Rodríguez Rodríguez.
Fórmula para la norma de una función que pertenece al espacio de Bergman,
en términos de sus coeficientes de Taylor–Maclaurin.
Expone Manuel Alejandro Ponce Martínez o Miguel Ángel Rodríguez Rodríguez.
Espacio l2(X), donde X es un conjunto arbitrario.
Expone Isidro Morales García.
Listas finitas de vectores mutualmente ortonormales.
Coeficientes de la expansión de un vector que pertenece al subespacio generado.
Desigualdad de Bessel.
Criterio de pertenencia, incluso la igualdad de Parseval.
Expone Isidro Morales García.
Definición de forma sesquilineal.
Definición de forma sesquilineal acotada, definiciones equivalentes de su norma.
La forma sesquilineal acotada asociada a un operador lineal acotado.
El enunciado del teorema de Riesz sobre el operador lineal acotado asociado a una forma sesquilineal acotada.
Expone Gerardo Ramos Vázquez.
Sucesiones de vectores mutualmente ortonormales.
Coeficientes de la expansión de un vector que pertenece al subespacio generado.
Desigualdad de Bessel.
Criterio de pertenencia, incluso la igualdad de Parseval.
Expone Isidro Morales García.
Definición de base ortonormal (podemos restringirnos al caso numerable).
Criterio de base ortonormal.
Expone Isidro Morales García.
Definición de forma sesquilineal.
Definición de forma sesquilineal acotada, definiciones equivalentes de su norma.
La forma sesquilineal acotada asociada a un operador lineal acotado.
Teorema de Riesz sobre el operador lineal acotado asociado a una forma sesquilineal acotada.
Expone Oscar Iván Pérez Mota.
Dada una función perteneciente al espacio de Bergman,
expresamos sus productos internos por los monomios normalizados en términos de sus coeficientes de Taylor–Maclaurin.
Justificar bien el intercambio de la integral con la serie.
Expone Manuel Alejandro Ponce Martínez o Miguel Ángel Rodríguez Rodríguez.
Los monomios normalizados forman una base ortonormal en el espacio de Bergman.
Expone Manuel Alejandro Ponce Martínez o Miguel Ángel Rodríguez Rodríguez.
Fórmula para la norma de una función que pertenece al espacio de Bergman,
en términos de sus coeficientes de Taylor–Maclaurin.
Expone Miguel Ángel Rodríguez Rodríguez.
Recordamos la definición del operador PM,
donde M es un subespacio cerrado del espacio de Hilbert H.
Demostramos que PM es un operador lineal.
Demostramos que PM es un operador lineal acotado (repaso).
Demostramos que PM es autoadjunto.
Calculamos la imagen y el núcleo de PM.
Expone Eduardo Camps Moreno.
Definición del operador adjunto, su existencia (el teorema de Riesz para el operador adjunto) y unicidad.
Se recomienda trabajar con formas sesqulineales y usar el teorema de Riesz para formas sesqulineales acotadas.
Expone Gerardo Ramos Vázquez.
El complemento ortogonal del complemento ortogonal de un subespacio cerrado.
Biyección entre proyecciones ortogonales y subespacios cerrados.
Relación entre el núcleo y la imagen del operador y de su adjunto.
Expone ???.
Si dos operadores inducen la misma forma cuadrática, entonces son iguales (es importante que trabajamos con escalares complejos).
El complemento ortogonal del complemento ortogonal de un subespacio que no necesariamente es cerrado.
Dado un funcional lineal acotado no nulo, el complemento ortogonal de su núcleo es un subespacio de dimensión 1.
Definiciones de operadores normales, autoadjuntos y unitarios.
Criterio de operador unitario.
Dos definiciones equivalentes
de la métrica natural en el dominio de un EHNR.
Expone Mario Alberto Moctezuma Salazar.
Consideramos el plano complejo ℂ con la medida gaussiana
dγ(z) = (1 / π) exp(−|z|2) dμ(z).
En el espacio L2(ℂ, dγ) consideramos el subespacio F de las funciones analíticas.
Demostrar que para cada punto z del plano complejo, el funcional de evaluación definido en F es acotado.
Demostrar que F es un subespacio cerrado.
Expone Manuel Alejandro Ponce Martínez.
La base de monomios normalizados del espacio de Segal–Bargmann–Fock.
Expone ???.
Cálculo del núcleo reproductor del espacio de Segal–Bargmann–Fock.
Expone ???.
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