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\newtheorem{defn}[thm]{Definición}
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\newtheorem{ex}[thm]{Ejemplo}

\usepackage{xcolor}

\title{Definición del producto interno}
\begin{document}
\section{Producto interno}

\begin{ex}[producto punto en $\bC^n$]
Consideramos el espacio vectorial complejo $\bC^n$
y la función $\langle\cdot,\cdot\rangle\colon\bC^n\times\bC^n\to\bC$
definida mediante la siguiente regla:
\[
\langle x,y\rangle \eqdef \sum_{k=1}^n x_k \overline{y_k}.
\]
Esta función se llama el \emph{producto punto} en $\bC^n$.
\end{ex}

Generalizando las propiedades del producto punto en $\bC^n$
y de muchos otros ejemplos (que vamos a conocer a continuación)
llegamos al siguiente concepto.

\begin{defn}\label{def:inner_product}
Sea $H$ un espacio vectorial complejo.
Suponemos que está dada una función $H\times H\to\bC$;
su valor en el par $(x,y)$ denotamos por $\langle x,y\rangle$.
Se dice que que esta función $\langle\cdot,\cdot\rangle$ es un \emph{producto interno} en $H$,
si se cumplen las siguientes propiedades.
\begin{enumerate}
\item[(PI1)] Propiedad aditiva respecto al primer argumento.
Para cualesquiera $x,y,z$ en $H$,
\[
\langle x+y,z\rangle=\langle x+z,y+z\rangle.
\]
\item[(PI2)] Propiedad homogénea respecto al primer argumento.
Para cualquier $\alpha$ en $\bC$ y cualesquiera $x,y$ en $H$,
\[
\langle \alpha x,y\rangle=\alpha\langle x,y\rangle.
\]
\item[(PI3)] Propiedad hermítica.
Para cualesquiera $x,y$ en $H$,
\[
\langle x,y\rangle=\overline{\langle y,x\rangle}.
\]
\item[(PI4)] Propiedad de ser positivo definido.
Para cualquier $x$ en $H\setminus\{0_H\}$,
\[
\langle x,x\rangle > 0.
\]
\end{enumerate}
\end{defn}

\begin{prop}\label{prop:additive_second_conjugate_homogeneous_second}
El producto interno es aditivo y homogéneo conjugado respecto al segundo argumento:
\begin{align}
\label{eq:additive_second}
\langle x,y+z\rangle &= \langle x,y\rangle + \langle x,z\rangle,
\\
\label{eq:conjugate_homogeneous_second}
\langle x,\alpha y\rangle &= \overline{\alpha} \langle x,y\rangle.
\end{align}
\end{prop}

\begin{proof}
Sale fácilmente de (PI1), (PI2) y (PI3),
y de las propiedades elementales de la conjugación compleja.
En efecto,
\begin{align*}
\langle x,y+z\rangle
&\equalwithnote{(PI3)}
\overline{\langle y+z,x\rangle}
\equalwithnote{(PI1)}
\overline{\langle y,x\rangle + \langle z,x\rangle}
=\overline{\langle y,x\rangle} + \overline{\langle z,x\rangle}
\equalwithnote{(PI3)}
\langle x,y\rangle + \langle x,z\rangle,
\\
\langle x,\alpha y\rangle
&\equalwithnote{(PI3)}
\overline{\langle\alpha y,x\rangle}
\equalwithnote{(PI2)}
\overline{\alpha \langle y,x\rangle}
=
\overline{\alpha} \overline{\langle y,x\rangle}
\equalwithnote{(PI3)}
\overline{\alpha} \langle x,y\rangle.
\qedhere
\end{align*}
\end{proof}

\begin{prop}
El producto interno es lineal respecto al primer argumento
y lineal conjugado respecto al segundo:
\[
\left\langle\sum_{j=1}^m \alpha_j x_j,y\right\rangle
=\sum_{j=1}^m\alpha_j \langle x_j,y\rangle,\qquad
\left\langle x,\sum_{j=1}^m \alpha_j y_j\right\rangle
=\sum_{j=1}^m\overline{\alpha_j}\langle x,y_j\rangle.
\]
\end{prop}

\begin{proof}
La primera igualdad sale fácilmente de (PI1) y (PI2),
la segunda de \eqref{eq:additive_second} y \eqref{eq:conjugate_homogeneous_second}.
Formalmente, se aplica la inducción matemática sobre $m$.
\end{proof}

\begin{cor}
\[
\left\langle\sum_{j=1}^p \alpha_j x_j,\sum_{k=1}^q \beta_k y_k\right\rangle
=\sum_{j=1}^p \sum_{k=1}^q \alpha_j \overline{\beta_k} \langle x_j,y_k \rangle.
\]
\end{cor}

\end{document}
