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  \leavevmode\unskip\penalty9999 \hbox{}\nobreak\hfill
  \quad\hbox{\ensuremath{\Rightarrow}}}

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  \par
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\theoremstyle{definition}
\newtheorem{thm}{Teorema}
\newtheorem{prop}{Proposición}
\newtheorem{lem}{Lema}
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\newtheorem{defn}{Definición}

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\filldraw[blue, fill = blue] (#1) circle (\r);
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\author{\texorpdfstring{Egor Maximenko\\%
\href{http://www.egormaximenko.com}{http://www.egormaximenko.com}}%
{Egor Maximenko}}
\institute{Instituto Politécnico Nacional\\
Escuela Superior de Física y Matemáticas\\
México}

\title{Criterio de límite en términos de sucesiones\\
(un tema de análisis real)}

\date{2021-11-19}

\begin{document}

\begin{frame}
\maketitle
\end{frame}

\begin{frame}{}

\textbf{Objetivo:}\\
demostrar el teorema de Heine, es decir,
el criterio de límite en términos de sucesiones.

\bigskip\medskip\pause
\textbf{Prerrequisitos:}\\
espacios métricos, espacios topológicos, base de vecindades.

\bigskip\medskip\pause
\textbf{Una de aplicaciones futuras:}\\
aplicar el teorema de la convergencia dominada a familias de funciones,\\
no necesariamente numerables.

\end{frame}


\begin{frame}{Vecindades y límites}

Sea $(X,\tau)$ un espacio topológico.

\bigskip\pause
Dado $a$ en $X$, pongamos $\tau(a)\eqdef \{V\in\tau\colon\ a\in V\}$.

\bigskip\pause
Recordemos la \myalert{definición del límite}.

\bigskip\pause
Sean $(X,\tau_X)$, $(Y,\tau_Y)$ espacios topológicos,
$a\in X$, $b\in Y$, $f\colon X\to Y$.
\[
\lim_{x\to a}f(x)=b
\qquad\iff\qquad
\forall Q\in\tau_Y(b)\qquad
\exists V\in\tau_X(a)\qquad
f[V\setminus\{a\}]\subseteq Q.
\]

\end{frame}

\begin{frame}{Variaciones de la definición del límite}

\textbf{Definición 1.}\\
Sean $(X,\tau_X)$, $(Y,\tau_Y)$ espacios topológicos,
$D\subseteq X$, $f\colon D\to Y$, $a\in\clos(D)$, $b\in Y$.
\[
\lim_{x\to a}f(x)=b
\qquad\iff\qquad
\forall Q\in\tau_Y(b)\qquad
\exists V\in\tau_X(a)\qquad
f[D\cap(V\setminus\{a\})]\subseteq Q.
\]

\medskip\pause
\textbf{Definición 2.}\\
En las mismas suposiciones,
\[
\lim_{x\to a}f(x)=b
\qquad\iff\qquad
\forall Q\in\tau_Y(b)\qquad
\exists V\in\tau_X(a)\qquad
f[D\cap V]\subseteq Q.
\]

\medskip\pause
En general, las Definiciones 1 y 2 no son equivalentes.\\
Hay casos particulares, cuando son equivalentes:
1) si $\notin D$; 2) si $f(a)=b$.

\end{frame}

\begin{frame}{Una base local de una topología en un punto}

Sea $(X,\tau)$ un espacio topológico y sea $a\in X$.

Una colección $\cW$ se llama \myalert{base local} de $\tau$ en $a$,
si cumple con dos propiedades:
\begin{itemize}
\item $\cW\subseteq\tau(a)$,
\item $\forall V\in\tau(a)\quad\exists W\in\cW\quad W\subseteq V$.
\end{itemize}

\medskip\pause
\textbf{Ejemplo trivial:}
$\tau(a)$ es una base local de $\tau$ en $a$.

\medskip\pause
En vez de una colección, a veces es más cómodo trabajar con una familia.\\
Una familia $(W_k)_{k\in J}$ se llama base local de $\tau$ en $a$,\\
si cumple con dos propiedades:
\begin{itemize}
\item $\{W_k\colon\ k\in J\}\subseteq\tau(a)$,
\item $\forall V\in\tau(a)\quad\exists k\in J\quad W_k\subseteq V$.
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Criterio de límite en términos de bases de vecindades}

\textbf{Ejercicio.}\\
Sean $(X,\tau_X)$, $(Y,\tau_Y)$ espacios topológicos,
$f\colon X\to Y$, $a\in X$, $b\in Y$.\\
Sea $\cW$ una base local de $\tau_X$ en $a$,
sea $\cQ$ una base local de $\tau_Y$ en $b$.

\medskip
Demostrar que
\[
\lim_{x\to a}f(x)=b
\qquad\iff\qquad
\forall Q\in\cQ\qquad
\exists W\in\cW\qquad
f[W\setminus\{a\}]\subseteq Q.
\]

\end{frame}

\begin{frame}{Bases locales numerables decrecientes}
 
\begin{prop}
Sea $(X,\tau)$ un espacio topológico, sea $a\in X$,\\
y sea $(P_j)_{j\in\bN}$ una base local numerable de $\tau$ en $a$.\\
Para cada $k$ en $\bN$ pongamos
\[
W_k\eqdef\bigcap_{j=1}^k P_j.
\]
Entonces $(W_k)_{k\in\bN}$ también es una base local de $\tau$ en $a$,
y la sucesión $(W_k)_{k\in\bN}$ es decreciente.
\end{prop}

\bigskip\pause
\textbf{Ejercicio simple: demostrar la proposición.}

\end{frame}


\begin{frame}{Ejemplos de bases locales numerables}

\textbf{Ejercicio.}\\
Sea $(X,d)$ un espacio métrico
y sea $\tau_d$ la topología inducida por la métrica $d$.\\
Para cada $a$ en $X$ y cada $r>0$,
\[
B(a,r)\eqdef \{x\in X\colon\ d(x,a)<r\}.
\]
Demostrar que la sucesión de bolas
\[
\bigl(B(a, 1/q)\bigr)_{q\in\bN}
\]
es una base local de $\tau_d$ en $a$.

\end{frame}

\begin{frame}{Ejemplos de bases locales numerables}

\textbf{Ejercicio.}\\
Recordar la definición de la topología canónica $\tau_{\bRext}$
del eje real extendido $\bRext=[-\infty,+\infty]$.\\
Demostrar que la sucesión de intervalos
\[
\bigl((m, +\infty]\bigr)_{m\in\bN}
\]
es una base local de la topología $\tau_{\bRext}$ en el punto $+\infty$.

\end{frame}

\begin{frame}{Criterio de límite en términos de sucesiones}

\begin{thm}
Sean $(X,\tau_X)$, $(Y,\tau_Y)$ espacios topológicos,
$f\colon X\to Y$, $a\in X$, $b\in Y$.\\
Supongamos que existe una base local numerable
de la topología $\tau_X$ en el punto $a$.\\
Entonces las siguientes dos condiciones son equivalentes:
\begin{itemize}
\item[(a)] $\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=b$;
\item[(b)] para cualquier sucesión $(t_k)_{k\in\bN}$ en $X\setminus\{a\}$,
si $\displaystyle\lim_{k\to\infty}t_k=a$,
entonces $\displaystyle\lim_{k\to\infty}f(t_k)=b$.
\end{itemize}
\end{thm}

\bigskip\pause
Heinrich Eduard Heine (1821--1881) fue un matemático alemán.

\bigskip\pause
Demostremos las implicaciones (a)$\Rightarrow$(b)
y $\neg\text{(a)}\Rightarrow\neg\text{(b)}$.

\end{frame}

\begin{frame}{Demostración (a)$\Rightarrow$(b)}

\tikzset{every node/.style
={rounded corners, text centered,
text width=20ex, minimum size = 3ex,
draw = darkgreen, fill = lightgreen,
outer sep = 0.2ex}}

\tikzset{assumptionnode/.style
={rounded corners, text centered,
text width=20ex, minimum size = 3ex,
draw = darkgreen, fill = lightyellow,
outer sep = 0.3ex}}

\tikzset{myedge/.style
={darkgreen, thick, -stealth}}

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\visible<2->{
\node [assumptionnode] (lim) at (-3, 0)
  {Supongamos\\$\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=b$};
\node [assumptionnode] (seq) at (3, 0)
  {$\displaystyle(t_n)_{n\in\bN}\in(X\setminus\{a\})^\bN$\\%
   $\displaystyle\lim_{n\to\infty}t_n=a$};
}
\visible<3->{
\node (Q) at (-5, -2.5)
  {Dado\\$Q\in\tau_Y(b)$};
}
\visible<4->{
\node (V) at (0, -2.5)
  {$V\in\tau_X(a)$\\$f[V\setminus\{a\}]\subseteq Q$};
\draw [myedge] (Q) -- (V);
\draw [myedge] (lim) -- (V);
}
\visible<5->{
\node (k) at (5, -2.5)
  {$k\in\bN$\\$\forall n\ge k\quad t_n\in V$};
\draw [myedge] (V) -- (k);
\draw [myedge] (seq) -- (k);
}
\visible<6->{
\node [thick] (conclusion) at (0, -5)
  {$k\in\bN$\\$\forall n\ge k\quad f(t_n)\in Q$};
\draw [myedge] (V) -- (conclusion);
\draw [myedge] (k) -- (conclusion);
}
\end{tikzpicture}
\end{center}

\end{frame}

\begin{frame}{Demostración
$\text{(b)}\Rightarrow\text{(a)}$ por reducción al absurdo, inicio}

\renewcommand{\baselinestretch}{1}

La condición (a) es equivalente a lo siguiente:
\begin{equation*}
\forall Q\in\tau_Y(b)\qquad
\exists V\in\tau_X(a)\qquad
f[V\setminus\{a\}]\subseteq Q.
\end{equation*}\pause 
Supongamos que (a) no se cumple:
\[
\exists Q\in\tau_Y(b)\qquad
\forall V\in\tau_X(a)\qquad
f[V\setminus\{a\}]\nsubseteq Q.
\]\pause 
Elegimos $E_0$ en $\tau_Y(b)$ con esta propiedad. Entonces
\[
\forall V\in\tau(a)\qquad
\exists x\in V\setminus\{a\}\qquad
f(x)\notin E_0.
\]\pause 
Sea $(W_n)_{n\in\bN}$ una base local decreciente
de $\tau_X$ en $a$.

\medskip\pause 
\begin{center}
\myalert{Para cada $n$ en $\bN$ encontramos $u_n\in W_n\setminus\{a\}$
tal que $f(u_n)\notin E_0$.}
\end{center}

\end{frame}


\begin{frame}{Demostración
$\text{(b)}\Rightarrow\text{(a)}$ por reducción al absurdo, dibujo}

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\def\r{0.04cm}
%
\begin{scope}
\filldraw [rounded corners,
  draw = darkgreen, fill = lightyellow]
  (0, -1) rectangle (3, 1);
\node [above] at (1.5, 1)
  {$\bN$};
\foreach \k in {1, 2, 3} {
  \filldraw[blue, fill = blue] (0.5 + 0.5 * \k, 0) circle (\r);
  \node [above] at (0.5 + 0.5 * \k, 0)
    {$\scriptstyle\k$};
}
\node at (2.5, 0) {$\scriptstyle\ldots$};
\end{scope}
%
\draw [-stealth] (3.2, 0) -- (4.3, 0);
\node [above] at (3.75, 0) {$u$};
%
\begin{scope}[xshift = 4.5cm]
\filldraw [rounded corners,
  draw = darkgreen, fill = lightyellow]
  (0, -2) rectangle (4, 2);
\node [above] at (2, 2) {$X$};
%
\visible<3->{
\filldraw [darkgreen, fill = greenone]
  (1.9, 0.1) circle (1.4cm);
\node [darkgreen] at (0.8, 0.1) {$\scriptstyle W_1$};
}
\visible<4->{
\filldraw [darkgreen, fill = greentwo]
  (2.2, 0.3) circle (0.7cm);
\node [darkgreen] at (2.2, -0.15) {$\scriptstyle W_2$};
}
\visible<5->{
\filldraw [darkgreen, fill = greenthree]
  (2.35, 0.4) circle (0.35cm);
\node [darkgreen] at (2.25, 0.4) {$\scriptstyle W_3$};
}
\mypoint{2.5, 0.5}{above}{a}
\visible<3->{
\mypoint{1.8, 0.5}{above}{u_1}
}
\visible<4->{
\mypoint{1.7, 0}{left}{u_2}
}
\visible<5->{
\mypoint{2.6, 0.3}{right}{u_3}
}
\end{scope}
%
\draw [-stealth] (8.7, 0) -- (9.8, 0);
\node [above] at (9.25, 0) {$f$};
%
\begin{scope}[xshift = 10cm]
\filldraw [rounded corners,
  draw = darkgreen, fill = lightyellow]
  (0, -2) rectangle (4, 2);
\node [above] at (2, 2) {$Y$};
%
\visible<2->{
\filldraw
  [darkred, fill = lightred,
  rotate around={30:(1.5, -0.5)}]
  (1.5, -0.5) ellipse (1.5cm and 0.5cm);
}
%
\mypoint{1.5, -0.5}{above}{b}
\node [red] at (2.5, 0.1) {$E$};
\visible<3->{
\mypoint{2, -1.5}{below}{f(u_1)};
}
\visible<4->{
\mypoint{2.5, 0.7}{above}{f(u_2)};
}
\visible<5->{
\mypoint{0.7, 0}{above}{f(u_3)};
}
\end{scope}
%
\end{tikzpicture}
\end{center}

\end{frame}

\begin{frame}{Demostración
$\text{(b)}\Rightarrow\text{(a)}$ por reducción al absurdo, dibujo}

Hemos construido una sucesión $(u_n)_{n\in\bN}$ tal que
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tikzset{tproperty/.style
={rounded corners, text centered,
text width=27ex, minimum size = 3ex,
draw = darkgreen, fill = lightgreen,
outer sep = 0.2ex}}
\tikzset{ftproperty/.style
={rounded corners, text centered,
text width=27ex, minimum size = 3ex,
draw = darkred, fill = lightred,
outer sep = 0.3ex}}
\node[tproperty] at (-3.5, 0)
  {$\forall n\in\bN\qquad t_n\in W_n\setminus\{a\}$};
\node[ftproperty] at (3.5, 0)
  {$\forall n\in\bN\qquad f(t_n)\notin E$};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\pause
Mostremos que $u_n\to a$ cuando $n\to\infty$.\\
Dado $V$ en $\tau_X(a)$, encontramos $k$ en $N$ tal que $W_k\subseteq V$.\\
Luego para $n\ge k$ tenemos $u_n \in W_n\subseteq W_k \subseteq V$.

\bigskip\pause
Mostremos que $f(u_n)\not\to b$ cuando $n\to\infty$. En efecto,
\[
\exists Q(=E_0)\in\tau_Y(b)\qquad
\forall k\in\bN\qquad
f(u_n)\notin Q.
\]

\smallskip\pause
Esto contradice a la suposición (b).
\end{frame}

\begin{frame}{Criterio de continuidad en términos de sucesiones (Heine)}

\begin{cor}
Sean $(X,\tau_X)$, $(Y,\tau_Y)$ espacios topológicos,
$f\colon X\to Y$, $a\in X$.\\
Entonces las siguientes dos condiciones son equivalentes:
\begin{itemize}
\item[(a)] $f$ es continua en $a$;
\item[(b)] para cualquier sucesión $(t_n)_{n\in\bN}$ en $X$,
si $\displaystyle\lim_{n\to\infty}t_n=a$,
entonces $\displaystyle\lim_{n\to\infty}f(t_k)=f(a)$.
\end{itemize}
\end{cor}

\end{frame}


\begin{frame}{Un truco útil: intercalar dos sucesiones}
 
\textbf{Ejercicio.}\\
Sea $X$ un espacio topológico
y sean $(t_m)_{m\in\bN}$, $(u_m)_{m\in\bN}$ sucesiones en $X$.
Definimos
\[
v_n \eqdef
\begin{cases}
t_m, & n=2m-1, \\
u_m & n=2m.
\end{cases}
\]
Demostrar que
\[
\lim_{n\to\infty} v_n = a
\qquad\iff\qquad
\Bigl(\,\lim_{m\to\infty}t_m=a
\qquad\wedge\qquad
\lim_{m\to\infty}u_m=a\Bigr).
\]

\end{frame}

\begin{frame}{Criterio de existencia del límite
en términos de sucesiones}

\textbf{Ejercicio.}\\
Sean $(X,\tau_X)$, $(Y,\tau_Y)$ espacios topológicos,
$f\colon X\to Y$, $a\in X$.\\
Supongamos que existe una base local numerable de $\tau$ en $a$.\\

\bigskip
Supongamos que para cada sucesión $(t_n)_{n\in\bN}$ en $X\setminus\{a\}$,\\
si $\displaystyle \lim_{n\to\infty} t_n = a$,
entonces la sucesión $(f(t_n))_{n\in\bN}$ tiene un límite en $Y$.

\bigskip
Demostrar que existe $b$ en $Y$ tal que $\lim_{x\to a} f(x)=b$.

\end{frame}


\end{document}
